Question

8．（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別為x軸正半軸和y軸正半軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O，A不重合），分別作∠OBC和∠ACB的角平分線，兩角平分線所在直線交于點(diǎn)E，直接問(wèn)答∠BEC的度數(shù)及點(diǎn)C所在的相應(yīng)位置．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△FGH的一個(gè)頂點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上，射線FO平分∠GFH，過(guò)點(diǎn)H的直線MN交x軸于點(diǎn)M，滿足∠MHF=∠GHN，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥MN交x軸于點(diǎn)P，請(qǐng)?zhí)骄俊螹PH與∠G的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要證明思路．

Answer 1

分析 （1）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)、②當(dāng)點(diǎn)C在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)、③當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上（且與點(diǎn)O，A不重合）時(shí)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、三角形內(nèi)外角關(guān)系求解；
（2）先根據(jù)EH平分∠GHF，F(xiàn)E平分∠GFH，得出∠FEF=90°+$\frac{1}{2}$∠G，再根據(jù)∠FEH是△EOP的外角，得出∠FEH=90°+∠MPH，進(jìn)而得出結(jié)論∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

解答 解：（1）分三種情況：

①如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，由題意可知：∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∵BE、CE分別平分∠OBC與∠ACB，
∴∠2∠1+2∠3=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠BEC=135°，
即當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，∠BEC=135°；
②如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)C在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，
與情況（1）同法可得：∠BEC=135°；
③如圖③所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上（且與點(diǎn)O，A不重合）時(shí)，
∵∠1+∠2=∠3+∠4+90°，
∴2∠1=2∠4+90°，
∴∠1=∠4+45°，
∠1-∠4=45°，即∠BEC=45°，
故當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上（且與點(diǎn)O，A不重合）時(shí)，∠BEC=45°；

（2）∠MPH與∠G的數(shù)量關(guān)系為：∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．
如圖2，∵∠MHF=∠GHN，HP⊥MN，
∴∠FHE=∠GHE，即EH平分∠GHF，
又∵FE平分∠GFH，
∴△FEH中，
∠FEF=180°-∠EHF-∠EFH
=180°-$\frac{1}{2}$（∠GHF-∠GFH）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠G）
=90°+$\frac{1}{2}$∠G，
∵∠FEH是△EOP的外角，
∴∠FEH=∠EOP+∠MPH=90°+∠MPH，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠G=90°+∠MPH，
即∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及坐標(biāo)系內(nèi)圖形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，具有一定難度．解題的關(guān)鍵是要掌握角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和及三角形的內(nèi)外角的關(guān)系，注意分類思想的運(yùn)用．