Question

【題目】如圖所示，過點F（0，1）的直線y=kx＋b與拋物線交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點（其中x1＜0，x2＜0）．

⑴求b的值．

⑵求x1x2的值

⑶分別過M、N作直線l：y=－1的垂線，垂足分別是M1、N1，判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結論．

⑷對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請法度出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：⑴b=1

⑵顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據“根與系數關系”得=－4

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由題知M1的橫坐標為x1，N1的橫坐標為x2，設M1N1交y軸于F1，

則F1M1F1N1=－x1x2=4，而F F1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，

另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易證Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，

故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．

⑷存在，該直線為y=－1．理由如下：

直線y=－1即為直線M1N1．

如圖，設N點橫坐標為m，則N點縱坐標為,計算知NN1=， NF= ，得NN1=NF

同理MM1=MF．

那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位線PQ，由中位線性質知PQ=（MM1＋NN1）=MN，即圓心到直線y=－1的距離等于圓的半徑，所以y=－1總與該圓相切．

【解析】

此題第（1）問，很簡單就是代入求值，確定函數的系數。

（2）結合問題將一次、二次函數組合轉化為一元二次方程，利用“根與系數”的關系求解。

（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性質的運用。

（4）用函數的加減來求距離，梯形中位線。此題綜合性很強，考查學生數形結合的思想，綜合了代數、幾何中的重點知識要學生有很好的綜合技能才可解決。