Question

【題目】如圖①，在銳角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD=3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE∥AC交邊BC于點(diǎn)E，以PE為邊作Rt△PEF，使∠EPF=90°，點(diǎn)F在點(diǎn)P的下方，且EF∥AB．設(shè)△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）（S＞0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（t＞0）．

（1）求線段AC的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）若邊EF與邊AC交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，如圖②．

①當(dāng)PQ將△PEF的面積分成1：2兩部分時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

②直接寫出PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=t2+t；當(dāng)≤t＜5時(shí)，S=（5﹣t）2；（3）①或；②或.

．

【解析】試題分析：

（1）在Rt△ABD中，由∠BDA=90°，AB=5，BD=3，可由勾股定理求得AD=4；在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，可求得CD=1；由此可得AC=AD+CD=5；

（2）由題意分析可知，如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段EF上或EF的下方時(shí)，△PEF與△ABD重疊部分圖形為矩形PMDN；如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落到AC上或AC的上方時(shí)，△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形PMFN；分這兩種情況分析討論即可；

（3）①如圖3、圖4，分I、S△PFQ：S△PEQ=1：2和II、 S△PFQ：S△PEQ=2：1兩種情況討論，由此可分別可得到：S△PEQ：S△PEF=2：3和S△PEQ：S△PEF=1：3從而可得：PG：PF=2：3和PG：PF=1：3，結(jié)合PG= ，PF=即可解得所求AP的長(zhǎng)；

②如圖5、圖6，分I、PQ的垂直平分線經(jīng)過當(dāng)點(diǎn)A和II、PQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)B兩種情況分析討論即可求得對(duì)應(yīng)的t的值.

試題解析：

（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，

∴AD=，

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，

∴CD=，

∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）如圖1中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是四邊形PMDN．

易知PA=t，AM=t，PM=t，DM=4﹣t，

∴S=t（4﹣t）=﹣t2+t．

如圖2中，當(dāng)≤t＜5時(shí)，重疊部分是四邊形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，

∴AC=AB，

易證PB=PE=5﹣t，PF=（5﹣t），PN=（5﹣t），

S=（5﹣t）（5﹣t）﹣（5﹣t）（5﹣t）=（5﹣t）2．

（3）①如圖3中，PF交AC于G．

當(dāng)S△PFQ：S△PEQ=1：2時(shí)，

∴S△PEQ：S△PEF=2：3，

∴PEPG： PEPF=2：3，

∴PG：PF=2：3，

∴t： （5﹣t）=2：3．

∴t=，即AP=．

如圖4中，當(dāng)S△PFQ：S△PEQ=2：1時(shí)，

∴S△PEQ：S△PEF=1：3，

∴PEPG： PEPF=1：3，

∴PG：PF=1：3，

∴t： （5﹣t）=1：3．

∴t=，即AP=，

∴AP的值為或．

②如圖5中，當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過當(dāng)A時(shí)．

易知四邊形APEQ時(shí)菱形，

∴PE=PA，即t=5﹣t，

∴t=．

如圖6中，當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四邊形PENG時(shí)矩形，四邊形DMEN時(shí)矩形，

∴PG=EN=t，EM=DN=PE﹣PM=（5﹣t），

QN=EN=t，

∴QD=t﹣（5﹣t）=t﹣1，

在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，

∴（5﹣t）2=32+（t﹣1）2，

∴t=．

綜上所述，t=s或s時(shí)，PQ的垂直平分線過△ABC的頂點(diǎn)．