Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是DC及AB的中點，射線FE與AD及BC的延長線分別交于點H及G．試猜想∠AHF與∠BGF的關(guān)系，并給出證明．
提示：若猜想不出∠AHF與∠BGF的關(guān)系，可考慮使四邊形ABCD為特殊情況．如果給不出證明，可考慮下面作法，連結(jié)AC，以F為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABP．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：方法一：連AC，取其中點為M，連EM和FM，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AHF=∠MEF，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BGF=∠MFE，從而得證；
方法二：作法，連結(jié)AC，以F為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABP，根據(jù)獨角戲互相平分的四邊形的平行四邊形可得APBC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊相等可得AP=BC=AD，連結(jié)AP，根據(jù)等邊對等角可得∠APD=∠ADP，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥DP根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AHF=∠ADP，根據(jù)兩邊互相平行的兩個角相等或互補可得∠BGF=∠APD，然后等量代換即可得證．

解答：答：∠AHF=∠BGF．
證明：方法一：連AC，取其中點為M，連EM和FM，
∵EM是△ACD的中位線，
∴EM∥AD，2EM=AD，
同理FM∥BC，2FM=BC，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∵∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，
∴∠AHF=∠BGF；

方法二：作法，連結(jié)AC，以F為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°，得到△ABP，
∵F是AB的中點，
∴APBC是平行四邊形，
∴AP=BC=AD，
連結(jié)AP，則∠APD=∠ADP，
∵EF是△CDP的中位線，
∴EF∥DP，
∴∠AHF=∠ADP，
∵GF∥DP，GB∥AP，
∴∠BGF=∠APD，
∴∠AHF=∠BGF．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出三角形的中位線．