Question

12．如果兩個三角形的兩條邊對應相等，夾角互補，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個三角形就是互補三角形．
（1）用尺規(guī)將圖1中的△ABC分割成兩個互補三角形；
（2）證明圖2中的△ABC分割成兩個互補三角形；
（3）如圖3，在圖2的基礎上再以BC為邊向外作正方形BCHI．
①已知三個正方形面積分別是17、13、10，在如圖4的網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）畫出邊長為$\sqrt{17}$、$\sqrt{13}$、$\sqrt{10}$的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的面積．
②若△ABC的面積為2，求以EF、DI、HG的長為邊的三角形面積．

Answer 1

分析 （1）作BC邊上的中線AD即可．
（2）根據(jù)互補三角形的定義證明即可．
（3）①畫出圖形后，利用割補法求面積即可．
②平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，只要證明S_△EFM=3S_△ABC即可．

解答 解：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補三角形．

（2）如圖2中，延長FA到點H，使得AH=AF，連接EH．

∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，
∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是兩個互補三角形．
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
∵AF=AC，
∴AH=AB，
在△AEH和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAB=∠BAC}\\{AH=AC}\end{array}\right.$
∴△AEH≌△ABC，
∴S_△AEF=S_△AEH=S_△ABC．

（3）①邊長為$\sqrt{17}$、$\sqrt{13}$、$\sqrt{10}$的三角形如圖4所示．

∵S_△ABC=3×4-2-1.5-3=5.5，
∴S_六邊形=17+13+10+4×5.5=62．

②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴∠EAM=90°+90°-x=180°-x，
∵∠DBI=360°-90°-90°-x=180°-x，
∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，
∴△AEM≌△DBI，
∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，
∴△DBI和△ABC是互補三角形，
∴S_△AEM=S_△AEF=S_△AFM=2，
∴S_△EFM=3S_△ABC=6．

點評 本題考查作圖-應用與設計，三角形面積等知識，解題的關鍵是理解題意，搞清楚互補三角形的面積相等，學會利用割補法求面積，學會利用平移添加輔助線，屬于中考�？碱}型．