Question

【題目】若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．

（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)A．B．C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對(duì)角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；

（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°.

【解析】

（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形即可.

（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形.

（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù).

（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC.

∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°.

∴∠ABD=∠ADB.∴△ADB是等腰三角形.

在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°.∴△BCD為等腰三角形.

∴BD是梯形ABCD的和諧線.

（2）由題意作圖為：圖2，圖3

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，∴△ACD是等腰三角形.

∵AB=AD=BC，∴分三種情況：

如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)，

圖4

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC.

∴△ABC是正三角形.∴∠BAC=∠BCA=60°.

∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°.

∴∠ACD=∠ADC=75°.∴∠BCD=60°+75°=135°.

如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)，

圖5

∴AB=AD=BC=CD.

∵∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是正方形.

∴∠BCD=90°.

如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，

圖6

過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD．CE⊥AD，∴AE=AD，∠ACE=∠DCE.

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，

∴四邊形ABFE是矩形.∴BF=AE.

∵AB=AD=BC，∴BF=BC.∴∠BCF=30°.

∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC.

∵AB∥CE，∴∠BAC=∠ACE.∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°.

∴∠BCD=15°×3=45°.

綜上所述，∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°.