Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點(diǎn)，OC為弦，∠AOC=60°，P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP．

（1）直接寫(xiě)出OC=___________；

（2）如圖1，當(dāng)CP與⊙A相切時(shí)，求PO的長(zhǎng)；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直徑OB上時(shí)，CP的延長(zhǎng)線與⊙A相交于點(diǎn)Q，問(wèn)當(dāng)PO為何值時(shí)，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4 （3）PO為2或2+2

【解析】

（1）根據(jù)已知條件證明△AOC是等邊三角形，由此即可求解；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ACP=90°，在直角三角形APC中，即可得∠APC= 30°；有已知A點(diǎn)的坐標(biāo)可得AC的長(zhǎng)，即可求得PA的長(zhǎng)，再由PO=PA-OA得出OP的值即可；（3）分OC=OQ和CQ=OQ兩種情況求PO得值即可.

（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴OC=OA=4

（2）∵CP與⊙A相切，

∴∠ACP=90°，

∴∠APC=90°﹣∠OAC=30°；

又∵A（4，0），

∴AC=AO=4，

∴PA=2AC=8，

∴PO=PA﹣OA=8﹣4=4．

（3）①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP1⊥OB，垂足為P1，延長(zhǎng)CP1交⊙A于Q1；

∵OA是半徑，

∴，

∴OC=OQ1，

∴△OCQ1是等腰三角形；

又∵△AOC是等邊三角形，

∴P1O=OA=2；

②如圖，過(guò)A作AD⊥OC，垂足為D，延長(zhǎng)DA交⊙A于Q2，CQ2與x軸交于P2，

∵A是圓心，

∴DQ2是OC的垂直平分線，

∴CQ2=OQ2，

∴△OCQ2是等腰三角形；

過(guò)點(diǎn)Q2作Q2E⊥x軸于E，

在Rt△AQ2E中，

∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q2E=AQ2=2，AE=2，

∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)（4+，﹣2）；

在Rt△COP1中，

∵P1O=2，∠AOC=60°，

∴，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)（2，）；

設(shè)直線CQ2的關(guān)系式為y=kx+b，則

，

解得，

∴y=﹣x+2+2；

當(dāng)y=0時(shí)，x=2+2，

∴P2O=2+2，

即：PO為2或2+2時(shí)，△OCQ是等腰三角形．