Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為夢之點，例如，點（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是夢之點，顯然夢之點有無數(shù)個．

（1）若點 P（2，b）是反比例函數(shù) (n 為常數(shù)，n ≠ 0) 的圖象上的夢之點，求這個反比例函數(shù)解析式；

（2）⊙O 的半徑是 ，

①求出⊙O上的所有夢之點的坐標；

②已知點 M（m，3），點 Q 是（1）中反比例函數(shù) 圖象上異于點 P 的夢之點，過點Q 的直線 l 與 y 軸交于點 A，∠OAQ＝45°．若在⊙ O 上存在一點 N，使得直線 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①⊙O上所有夢之點坐標是（1，1）或（-1，-1）；②m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5．

【解析】

（1）由夢之點的定義可求得P點坐標，再利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式；（2）①設(shè)⊙O上的夢之點坐標為（a，a），由圓的半徑，根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可得夢之點的坐標；②分兩種情況進行討論：當MN為y=-x+b時，m=b-3，當直線MN平移至與⊙O相切時，且切點在第三象限時，b取得最小值，當直線MN平移至與⊙O相切時，且切點在第一象限時，b取得最大值，據(jù)此可得m的取值范圍為-5≤m≤-1；當直線MN為y=x+b時，同理可得，m的取值范圍為1≤m≤5．

（1） ∵P（2，b）是夢之點，∴b=2

∴P（2，2）

將P（2，2） 代入 中得n=4

∴反比例函數(shù)解析式是

（2）①設(shè)⊙O上夢之點坐標是（，）∴∴

=1或=-1

∴⊙O上所有夢之點坐標是（1，1）或（-1，-1）

②由（1）知，異于點P的夢之點Q的坐標為（-2，-2）

由已知MN∥l或MN⊥l

∴直線MN為y=-x+b或y=x+b

當MN為y=-x+b時，m=b-3

由圖可知，當直線MN平移至與⊙O相切時，

且切點在第四象限時，b取得最小值，

此時MN 記為 ，

其中 為切點，為直線與y軸的交點

∵△O 為等要直角三角形，

∴O= ∴O=2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

當直線MN平移至與⊙O相切時，且切點在第二象限時，

b取得最大值，此時MN 記為 ，

其中 為切點，為直線與y軸的交點。

同理可得，b的最大值為2，m的最大值為-1．

∴m的取值范圍為-5≤m≤-1．

當直線MN為y=x+b時，

同理可得，m的取值范圍為1≤m≤5，

綜上所述，m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5．