【題目】在平面直角坐標系中,我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為夢之點,例如,點(1,1),(﹣ 2,﹣ 2),(,),…,都是夢之點,顯然夢之點有無數(shù)個.

(1)若點 P(2,b)是反比例函數(shù) (n 為常數(shù),n ≠ 0) 的圖象上的夢之點,求這個反比例函數(shù)解析式;

(2)⊙O 的半徑是

①求出⊙O上的所有夢之點的坐標;

②已知點 M(m,3),點 Q 是(1)中反比例函數(shù) 圖象上異于點 P 的夢之點,過點Q 的直線 l y 軸交于點 A,∠OAQ=45°.若在⊙ O 上存在一點 N,使得直線 MN ∥ l MN ⊥ l,求出 m 的取值范圍.

【答案】(1);(2)①⊙O上所有夢之點坐標是(1,1)或(-1,-1);②m的取值范圍為-5≤m≤-11≤m≤5.

【解析】

(1)由夢之點的定義可求得P點坐標,再利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式;(2)①設(shè)⊙O上的夢之點坐標為(a,a),由圓的半徑,根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于a的方程,可求得a的值,則可得夢之點的坐標;②分兩種情況進行討論:當MNy=-x+b時,m=b-3,當直線MN平移至與⊙O相切時,且切點在第三象限時,b取得最小值,當直線MN平移至與⊙O相切時,且切點在第一象限時,b取得最大值,據(jù)此可得m的取值范圍為-5≤m≤-1;當直線MNy=x+b時,同理可得,m的取值范圍為1≤m≤5.

(1) ∵P(2,b)是夢之點,∴b=2

∴P(2,2)

P(2,2) 代入 中得n=4

∴反比例函數(shù)解析式是

(2)①設(shè)O上夢之點坐標是(,)∴

=1=-1

O上所有夢之點坐標是(1,1)或(-1,-1)

②由(1)知,異于點P的夢之點Q的坐標為(-2,-2)

由已知MN∥lMN⊥l

∴直線MNy=-x+by=x+b

MNy=-x+b時,m=b-3

由圖可知,當直線MN平移至與O相切時,

且切點在第四象限時,b取得最小值,

此時MN 記為 ,

其中 為切點,為直線與y軸的交點

∵△O 為等要直角三角形,

∴O= ∴O=2

∴b的最小值是-2,

∴m的最小值是-5

當直線MN平移至與O相切時,且切點在第二象限時,

b取得最大值,此時MN 記為 ,

其中 為切點,為直線y軸的交點。

同理可得,b的最大值為2,m的最大值為-1.

∴m的取值范圍為-5≤m≤-1.

當直線MNy=x+b時,

同理可得,m的取值范圍為1≤m≤5,

綜上所述,m的取值范圍為-5≤m≤-11≤m≤5.

練習冊系列答案
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①如圖2,當∠BAC=90°時,AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=   DE;

②如圖3,當∠BAC=120°,ED=6時,AM的長為   。

(2)猜想論證:

在圖1中,當∠BAC為任意角時,猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明。

(3)拓展應用

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