Question

【題目】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖），易證BM+DN=MN．

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明；

（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）分別證明△ABE≌△ADN、△AEM≌△ANM，根據全等三角形的性質解答；

（2）由（1）的證明方法相同，證明即可．

（1）猜想：BM+DN=MN．證明如下：

如圖2，在MB的延長線上，截取BE=DN，連接AE．

在△ABE和△ADN中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．

在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；

（2）DN=MN+BM．證明如下：

如圖3，在DC上截取DF=BM，連接AF．

在△ABM和△ADF中，∵，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．

∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．

在△MAN和△FAN中，∵，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN，∴DN=MN+BM．