Question

14．王華在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，在北京市義務(wù)教育教科書九年級上冊第31頁遇到這樣一道題，如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點(diǎn)，連接CP，要使△ACP∽△ABC，還需要補(bǔ)充的一個(gè)條件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB．
請回答：
（1）王華補(bǔ)充的條件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB．
（2）請你參考上面的圖形和結(jié)論，探究，解答下面的問題：
如圖2，在△ABC中，∠A=30°，AC²=AB²+AB•BC．求∠C的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由∠A=∠A，當(dāng)∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$時(shí)，△ACP∽△ABC；
（2）延長AB到點(diǎn)D，使BD=BC，連接CD，由已知條件得出證出$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，由∠A=∠A，證出△ACB∽△ADC，得出對應(yīng)角相等∠ACB=∠D，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，得出∠ACB=50°即可．

解答 解：∵∠A=∠A，
∴當(dāng)∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；
或$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，即AC²=AP•AB時(shí)，△ACP∽△ABC；
故答案為：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB；
（1）王華補(bǔ)充的條件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC²=AP•AB；理由如下：
∵∠A=∠A，
∴當(dāng)∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；
或$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，即AC²=AP•AB時(shí)，△ACP∽△ABC；
故答案為：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB；
（2）延長AB到點(diǎn)D，使BD=BC，連接CD，如圖所示：
∵AC²=AB²+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠ACB+30°=180°，
∴∠ACB=50°．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；本題中（2）有一定難度，需要通過作輔助線證明三角形相似才能得出結(jié)果．