【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC交AC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AD=BC,⊙O半徑為6,求∠CAD與圍成的陰影部分的面積.
【答案】(1)直線DE與⊙O相切,理由見解析;(2)6
【解析】
(1)連接OD,由AD為角平分線,得到一對角相等,再由OA=OD,得到一對角相等,通過等量代換得到一對內(nèi)錯角相等;根據(jù)上步結(jié)論可推理得到平行線,再結(jié)合AE⊥ED即可證得結(jié)論;
(2)先判斷△COD是等邊三角形,根據(jù)等底同高的三角形的面積相等可知S△ACD=S△COD,從而∠CAD與弧CD圍成的陰影部分的面積=扇形COD的面積.
解:(1)直線DE與⊙O相切,
理由如下:連接OD,如圖所示:
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠OAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA=∠EAD,
∴EA∥OD,
∵DE⊥EA,
∴DE⊥OD,
又∵點D在⊙O上,
∴直線DE與⊙O相切;
(2)連接CD,OC.
∵AD=BC,
∴ 弧AD =弧BC ,
∴ 弧AC = 弧BD ,
∵ 弧CD = 弧BD ,
∴ 弧AC = 弧CD =弧BD,
∴∠COD=∠BOD=60°,
∵OC=OD,
∴△COD是等邊三角形,
∴∠CDO=∠DOB=60°,
∴CD∥AB,
∴S△ACD=S△COD,
∴∠CAD與弧CD圍成的陰影部分的面積=扇形COD的面積=.
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【題目】如圖在等腰三角形△ABC中,AC=BC,D、E分別為AB、BC上一點,∠CDE=∠A.
(1)如圖①,若BC=BD,求證:CD=DE;
(2)如圖②,過點C作CH⊥DE,垂足為H,若CD=BD,EH=1,求DE﹣BE的值.
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【題目】如圖,直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點,OA:OB=.以線段AB為邊在第二象限內(nèi)作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.
(1)求點A的坐標(biāo)和k的值;
(2)求點C坐標(biāo);
(3)直線y=x在第一象限內(nèi)的圖象上是否存在點P,使得△ABP的面積與△ABC的面積相等?如果存在,求出點P坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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【題目】閱讀理解:如圖1,若一個四邊形的兩條對角線互相垂直,則稱這個四邊形為垂美四邊形.
(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由;
(2)性質(zhì)探究:如圖1,試在垂美四邊形ABCD中探究AB2,CD2,AD2,BC2之間的關(guān)系,并說明理由;
(3)解決問題:如圖3,分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連結(jié)CE、BG、GE、CE交BG于點N,交AB于點M.已知AC=,AB=2,求GE的長.
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【題目】隨著科技的發(fā)展,油電混合動力汽車已經(jīng)開始普及,某種型號油電混合動力汽車,從甲地到乙地燃油行駛純?nèi)加唾M用80元,從甲地到乙地用電行駛純電費用30元,已知每行駛1千米,純?nèi)加唾M用比純用電費用多0.5元
(1)求每行駛1千米純用電的費用;
(2)若要使從甲地到乙地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過50元,則至多用純?nèi)加托旭偠嗌偾祝?/span>
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【題目】已知點A(2,1)是正比例函數(shù)ykx(其中k0)和反比例函數(shù)y(其中t0)的圖像在第一象限的交點,點B是這兩個函數(shù)圖像的另一個交點,點C是x軸上一點.
(1)求這兩個函數(shù)的解析式并直接寫出點B的坐標(biāo);
(2)求當(dāng)ABC為等腰三角形時,點C的坐標(biāo).
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【題目】將圖1,將一張直角三角形紙片ABC折疊,使點A與點C重合,這時DE為折痕,△CBE為等腰三角形;再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊,這時得到了兩個完全重合的矩形(其中一個是原直角三角形的內(nèi)接矩形,另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形),我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形”.
(1)如圖2,正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎?如果能,請在圖2中畫出折痕;
(2)如圖3,在正方形網(wǎng)格中,以給定的BC為一邊,畫出一個斜三角形ABC,使其頂點A在格點上,且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形;
(3)如果一個三角形所折成的“疊加矩形”為正方形,那么它必須滿足的條件是 ;
(4)如果一個四邊形一定能折成“疊加矩形”,那么它必須滿足的條件是 .
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【題目】在中,,,點從點出發(fā)沿射線移動,同時點從點出發(fā)沿線段的延長線移動,點,移動的速度相同,與相交于點.
(1)如圖1,過點作,交于點,求證:;
(2)如圖2,,當(dāng)點移動到的中點時,求的長度;
(3)如圖3,過點作于點.在點從點向點(點不與點,重合)移動的過程中,線段與的長度是否保持不變?nèi)舯3植蛔,請求?/span>與的長度和;若改變,請說明理由.
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【題目】某一工程,在工程招標(biāo)時,接到甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書.施工一天,需付甲工程隊工程款1.2萬元,乙工程隊工程款0.5萬元.工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊的投標(biāo)書測算,有如下方案:
(1)甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成;
(2)乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定日期多用6天;
(3)若甲、乙兩隊合作3天,余下的工程由乙隊單獨做也正好如期完成.
試問:(1)規(guī)定日期是多少天?
(2)在不耽誤工期的前提下,你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?請說明理由.
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