Question

定義：若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形．
如圖①：直角三角形可以通過作斜邊上的高把直角三角形分割成較小的三角形都與它相似，直角三角形是自相似圖形．

解決問題：
（1）任意三角形都是自相似圖形．請你在圖②中完成分割，并作必要的標(biāo)注．
（2）對于有一底角為60°，上、下底的比為1：2等腰梯形也是自相似圖形，請你在圖③中完成分割，并作必要的標(biāo)注．
（3）現(xiàn)有一個矩形長AD=a，寬AB=b（a＞b）是自相似圖形．
①若分割成兩塊全等矩形，那么原矩形的長和寬應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？
②若一次縱向分割成n塊全等矩形，那么原矩形的長和寬應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？
③如果要分割出縱向m塊全等矩形和橫向n塊全等矩形，則原矩形的長a和寬b又應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？直接寫出答案．（用含b，m、n的代數(shù)式表示a）

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）作△ABC三邊的中位線分割成的較小的三角形都與它相似，
（2）在等腰梯形內(nèi)部作4個全等的等腰梯形即可；
（3）①根據(jù)矩形ABEF∽矩形FECD，得出AF：AB=AB：AD，再把a(bǔ)、b代入整理即可，
②根據(jù)每個小矩形都是全等的，得出邊長為b和

1

n

a，再根據(jù)b：

1

n

a=a：b進(jìn)行整理即可，
③先求出DN=

1

n

b，根據(jù)矩形FMND∽矩形ABCD，得出FD：DN=AD：AB，求出AF=a-

1

n

a，得出AG=

n-1

mn

a，根據(jù)矩形GABH∽矩形ABCD，得出AG：AB=AB：AD，再代入得出a=

mn n-1

b；根據(jù)矩形DFMN∽矩形ABCD，得出FD：DN=AB：AD求出FD=

b2

mn

，得出AG=

na2-b2

mna

，根據(jù)矩形GABH∽矩形ABCD，得出AG：AB=AB：AD，再代入得出a=

mn+1 n

b．

解答：解：（1）如圖：作△ABC三邊的中位線即可；

 （2）根據(jù)題意畫圖如下：
  
（3）①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即

1

2

a：b=b：a，
∴a=

2

b；
②每個小矩形都是全等的，則其邊長為b和

1

n

a，
則b：

1

n

a=a：b，
∴a=

n

b；
③a=

mn n-1

b或a=

mn+1 n

b；

由①②可知縱向m塊矩形全等，橫向n塊矩形也全等，
∴DN=

1

n

b，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD：

1

n

b=a：b，
解得FD=

1

n

a，
∴AF=a-

1

n

a，
∴AG=

AF

m

=

a- 1 n a

m

=

n-1

mn

a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即

n-1

mn

a：b=b：a
得：a=

mn n-1

b；
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD：

1

n

b=b：a
解得FD=

b2

mn

，
∴AF=a-

b2

mn

，
∴AG=

AF

m

=

a- b2 na

m

=

na2-b2

mna

∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即

na2-b2

mna

：b=b：a，
得：a=

mn+1 n

b；
答：如果要分割出縱向m塊全等矩形和橫向n塊全等矩形，則原矩形的長a和寬b又應(yīng)滿足a=

mn n-1

b或a=

mn+1 n

b．

點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點(diǎn)是相似多邊形的判定與性質(zhì)、中位線、自相似圖形，關(guān)鍵是根據(jù)有關(guān)定義畫出圖形，做出相似多邊形．