Question

如圖：梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=

1

2

BC=4，E、F分別在BC、DC上，將梯形沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)A上．
（1）求BE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AD和EF的延長(zhǎng)線交于G，試說(shuō)明△AEG是等腰三角形；
（3）求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,梯形

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得AE=CE，∠FEC=∠AEF，再根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠FEC=∠G，再根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得EG的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得

EF

FG

=

EC

DG

=

5

1

=5，在根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答：解：連接AE，延長(zhǎng)EF、AD交于G，作EH⊥AD與H點(diǎn)，
AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=

1

2

BC=4，
∴BC=8
（1）將梯形沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)A上，
AE=CE，∠FEC=∠AEF，
設(shè)BE=x，CE=AE=8-x，
由勾股定理，得BE²+AB²=AE²，即
x²+4²=（8-x）²，
x=3，
BE=3；
（2）∵AD∥BC，
∴∠FEC=∠G．
∴∠AEG=∠G，
∴△AEG是等腰三角形；
（3）∵△AEG是等腰三角形，
∴AE=GE=5，．
∵ABEH是矩形，
∴AH=BE=3，
HG=5-3=2，DG=5-4=1，．
由勾股定理，得
EF=

HG2+HE2

=

22+42

=2

5

，
DG∥EC，
∴△ECF∽△GDF，

EF

FG

=

EC

DG

=

5

1

=5，
EF=5FG．
EF+GF=6FG=2

5

，
FG=

5

3

，
EF=5FG=

5 5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折問(wèn)題，利用了翻折的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，題目稍難．