Question

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動點，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點P，三角板可繞P點旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；
（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）
（3）在（2）的條件下，連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？若不相似，則動點P運動到什么位置時，△BPE與△PFE相似？說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）找出△BPE與△CFP的對應角，其中∠BPE+∠CPF=135°，∠CPF+∠CFP=135°，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問題；
（2）利用（1）小題證明方法可證：△BPE∽△CFP；
（3）動點P運動到BC中點位置時，△BPE與△PFE相似，同（1），可證△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 PB：BE=PF：PE，進而求出，△BPE與△PFE相似．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（兩角對應相等的兩個三角形相似）．

（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（兩角對應相等的兩個三角形相似）．

（3）解：動點P運動到BC中點位置時，△BPE與△PFE相似，
證明：同（1），可證△BPE∽△CFP，
得 CP：BE=PF：PE，
而CP=BP，
因此 PB：BE=PF：PE．
又因為∠EBP=∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學生都有的三角板在圖形上的運動為背景，既考查了學生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動，動中求靜的思維方法，又考查了學生動手實踐、自主探究的能力．