【題目】已知如圖BPCP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線,BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線,BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線,∠BACα

1)當(dāng)α40°時(shí),∠BPC   °,∠BQC   °;

2)當(dāng)α   °時(shí),BMCN

3)如圖,當(dāng)α120°時(shí),BMCN所在直線交于點(diǎn)O,求∠BOC的度數(shù);

4)在α60°的條件下,直接寫(xiě)出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系:   

【答案】170 125;(260;(345°;(4)∠BPC+BQC+BOC180°.

【解析】

1)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠DBC與∠BCE,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBP+BCP,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;根據(jù)角平分線的定義得出∠QBCPBC,∠QCBPCB,求出∠QBC+QCB的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;

2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MBC+NCB180°,依此求解即可;

3)根據(jù)題意得到∠MBC+NCB,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC的度數(shù);

4)分別用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC,再相加即可求解.

解:(1)∵∠DBC=∠A+ACB,∠BCE=∠A+ABC,

∴∠DBC+BCE180°+A220°,

BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線,

∴∠CBP+BCP(∠DBC+BCE)=110°,

∴∠BPC180°﹣110°=70°,

BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線,

∴∠QBCPBC,∠QCBPCB,

∴∠QBC+QCB55°,

∴∠BQC180°﹣55°=125°;

2)∵BMCN,

∴∠MBC+NCB180°,

BMCN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線,∠BACα,

(∠DBC+BCE)=180°,

180°)=180°,

解得α60°;

3)∵α120°,

∴∠MBC+NCB(∠DBC+BCE)=180°)=225°,

∴∠BOC225°﹣180°=45°;

4)∵α60°,

BPC90°﹣α

BQC135°﹣α

BOCα45°.

BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系:∠BPC+BQC+BOC=(90°﹣α+135°﹣α+α45°)=180°.

故答案為:70125;60;∠BPC+BQC+BOC180°.

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