Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，F為BE上一點，連接DF，過F作FG⊥DF交BC于點G，連接BD交FG于點H，若FD=FG，BF=3 ，BG=4，則GH的長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：過點F作BC的垂線，分別交BC、AD于點M、N，則MN⊥AD，延長GF交AD于點Q，如圖所示． ∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∵BF=3 ，
∴BM=FM=3，
∵BG=4，
∴MG=1，
∵FD⊥FG，
∴∠DFG=90°，
∴∠DFN+∠MFG=90°，
∵∠DNF=90°，
∴∠NDF+∠DFN=90°，
∴∠NDF=∠MFG，
在DNF和△FMG中，
，
∴△DNF≌△FMG（AAS），
∴DN=FM=3，NF=MG=1，
由勾股定理得：FG=FD= ，
∵QN∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
∴FQ= ，QN= ，
設GH=x，則FH= ﹣x，
∵QD∥AG，
∴ ，
∴ ，
x= ，
即GH= ．
故答案為： ．

作輔助線，構建相似三角形和全等三角形，先根據△ABF是等腰直角三角形求BM和FM的長，證明△DNF≌△FMG，得DN=FM=3，NF=MG=1；再利用AD∥BC和平行線分線段成比例定理依次列比例式，求QN和QF的長，設GH=x，列方程可求得GH的長．