Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，線段AE的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．

（1）求證：ED=BD；

（2）若∠BAC=90°，△ABC的外接圓的直徑是6，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，求出∠BED=∠EBD，即可得出答案；

（2）求出BC為△ABC的直徑，求出BD=DC，解直角三角形求出即可．

試題解析：（1）∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，

∵∠CBD=∠CAD，

∴∠BAD=∠CBD，

∴∠BED=∠ABE+∠BAD，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，

∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，

∴∠BED=∠EBD，

∴ED=BD；

（2）連接CD，

∵∠BAC=90°，

∴BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∵⊙O的直徑=6，

∴BC=6，

∵E為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，

∴∠BAD=∠CAD，

∴BD=DC，

∴BD=DC=BC=3．