【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(4,0),B(0,3),以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC,BAC=90°.若第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P,且△ABP的面積與△ABC的面積相等.

(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.

(2)a的值.

(3)x軸上是否存在一點(diǎn)M,使△MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=-x+3;(2) a=-5;(3) 存在點(diǎn)M(-1,0)或(9,0)或(10,0)或,0),使△MAC為等腰三角形.

【解析】設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為ykxb(k≠0),把點(diǎn)A(40),B(0,3)代入,用待定系數(shù)法求解即可;

(2)利用勾股定理求出AB的長,從而求出△ABC的面積;過點(diǎn)PPDx軸于點(diǎn)D,根據(jù)SABPS梯形PDOBSAOBSAPD列式求解即可;

(3)分①當(dāng)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)時(shí),②當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)時(shí),③當(dāng)以點(diǎn)M為頂點(diǎn)時(shí)三種情況求解.

(1)設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k≠0).由題意,

解得

直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3.

(2)如解圖過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D.

易得BO=3,AO=4,

∴AB==5.

∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,

∴SABC.

點(diǎn)P(a,且在第二象限,

∴PD=,OD=-a,

∴SABP=S梯形PDOB+SAOB-SAPD

×3×4-×(4-a)×=-a+5,

∴-a+5=解得a=-5.

(3)存在.

如解圖,分三種情況討論:

當(dāng)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)A為圓心,AC長為半徑畫弧,交x軸于點(diǎn)M1,M2,

易知AM1=AM2=AC=5,

點(diǎn)M1(-1,0),M2(9,0).

當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)時(shí)以點(diǎn)C為圓心,AC長為半徑畫弧,交x軸于點(diǎn)M3過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E.

易知△AOB≌△CEA≌△CEM3

∴EM3=AE=BO=3,CE=AO=4,

點(diǎn)M3(10,0).

當(dāng)以點(diǎn)M為頂點(diǎn)時(shí),作AC的中垂線交x軸于點(diǎn)M4.

易得點(diǎn)C(7,4),

又∵點(diǎn)A(4,0),

∴AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為,0).

易知AB平行于AC的中垂線,故可設(shè)AC中垂線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+b.

由題意,得-×+b=2,解得b=,

∴AC中垂線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+.

令y=0,得x=,

點(diǎn)M4,0).

綜上所述,存在點(diǎn)M(-1,0)或(9,0)或(10,0)或,使△MAC為等腰三角形.

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