Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，點(diǎn)A、B、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D在射線AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作PD⊥AB，交直線AC于點(diǎn)P，作過(guò)點(diǎn)A關(guān)于PD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接PA′，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為每秒

3

個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求線段AB的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)△PAA′與△ABC的重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接A′C和BP交于點(diǎn)E，當(dāng)A′C垂直平分BP，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：先求出AO、BO，即可得到AB的長(zhǎng)度；根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行解答；畫出圖形來(lái)解答最后一問(wèn)．

解答：解：（1）∵∠AOC=90°，∠CAB=30°，CO=2，
∴AO=

CO

tan∠CAB

=

2

tan30°

=2

3

，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB=30°，
∴OB=CO•tan∠OCB=2×tan30°=

2 3

3

，
∴AB=AO+OB=2

3

+

2 3

3

=

8 3

3

；
（2）由題意得AD=

3

t，AA'=2

3

t，
∴PD=AD•tan∠CAB=

3

t•

3

3

=t，
∴S=

1

2

×AA′×PD=

1

2

×2

3

t×t=

3

t2  （t≤2）；
（3）如圖，由題意得PA'=BA'，
易知PA'=2t，
∴A'B=2t，
∵A'B=AB-AA'，
∴

8 3

3

-2

3

t=2t，
解得t=

6-2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題目考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是靈活利用圖形來(lái)進(jìn)行分析和解答，難點(diǎn)是三角函數(shù)的運(yùn)用．