Question

已知矩形ABCD和點P，當點P在BC上任一位置(如圖(1)所示)時，易證得結論：PA²＋PC²＝PB²＋PD²，請你探究：當點P分別在圖(2)、圖(3)中的位置時，PA²、PB²、PC²和PD²、又有怎樣的數(shù)量關系？請你寫出對上述兩種情況的探究結論，并利用圖(2)證明你的結論．

答：對圖(2)的探究結論為________________________．

對圖(3)的探究結論為________________________________．

證明：如圖(2)

Answer 1

答案：
解析：

結論均是PA2＋PC2＝PB2＋PD2(圖2　2分，圖3　1分) 　　證明：如圖2過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N， 　　因為AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC 　　在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2 　　在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2 　　在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2 　　在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2 　　所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2 　　PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 　　因為MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四邊形MNCD是矩形 　　所以MD＝NC，同理AM＝BN， 　　所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 　　即PA2＋PC2＝PB2＋PD2