Question

2．設(shè)AM是△ABC中BC邊上的中線，任作一條直線分別交AB，AC，AM于P，Q，N，求證：$\frac{2AM}{AN}$=$\frac{AB}{AP}$+$\frac{AC}{AQ}$．

Answer 1

分析 過B作BD∥PQ，過C作CE∥PQ，分別交直線AM于D、E，得到BD∥CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDM=∠CEM，推出△BDM≌△CEM（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MD=ME，根據(jù)平行線分線段成比例得到∴$\frac{AB}{AP}=\frac{AD}{AN}$，$\frac{AC}{AQ}=\frac{AE}{AN}$，于是得到$\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}=\frac{AE+AD}{AN}$，根據(jù)線段的和差得到AE=AM+ME，AD=AM-MD，于是得到結(jié)論．

解答 證明：過B作BD∥PQ，過C作CE∥PQ，分別交直線AM于D、E，
∴BD∥CE，
∴∠BDM=∠CEM，在△BDM與△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDM=∠CEM}\\{DM=EM}\\{∠BMD=∠CME}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CEM（AAS），
∴MD=ME，
∵PQ∥BD，PQ∥CE
∴$\frac{AB}{AP}=\frac{AD}{AN}$，$\frac{AC}{AQ}=\frac{AE}{AN}$，
∴$\frac{AB}{AP}+\frac{AC}{AQ}=\frac{AE+AD}{AN}$，
∵AE=AM+ME，AD=AM-MD
∴AE+AD=2AM
∴$\frac{2AM}{AN}$=$\frac{AB}{AP}$+$\frac{AC}{AQ}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．