Question

如圖，?ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點E，AE的中點是H，經(jīng)過點E作AE的垂線交BC于G，交AB的延長線于點F，點G恰好是EF的中點，DH=GC．
（1）求證：∠HDC=∠ADH=∠C；
（2）若AE=6

3

，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線性質(zhì)即可求解；
（2）可證CGE≌△BGF，即可求得EC的長，根據(jù)AE=ED即可求四邊形ABCD的周長．

解答：解：（1）∵平行四邊形ABCD，AE平分∠DAB；
∴∠DAE=∠EAF=∠AED；DC∥AB，
∴△DAE是等腰三角形，
∵E是AE的中點，
∴AD=DE；∠ADH=∠HDC；DH⊥AE，
又∵AE⊥EF，
∴DH∥EG，
∴四邊形DEGH是平行四邊形，
∴DH=EG；∠HDC=∠EGH，
∵EG=DH=CG，
∴△CGE是等腰三角形，
∴∠CEG=∠C=∠HDC=∠ADH；
（2）∵∠CEG=∠C=∠HDC=∠ADH且∠ADH+∠HDC+∠DAB=180°，
∴∠HDC=∠ADH=∠CEG=60°，
∴△CGE是等邊三角形，
∵CE∥BF；G是EF中點，
在△CGE和△BGF中，

∠EGC=∠BGF ∠CEG=∠GBF EG=FG

，
∴△CGE≌△BGF（AAS），
∴BG=CG=CE=DH．
∵AE=6

3

，
∴AH=3

3

；DE=AD=

2

3

AH=6，
∴BG=CG=CE=DH=

1

2

AD=3，
∴AD+DC=AD+DE+CE=6+6+3=15，
∴平行四邊形ABCD的周長=2（AD+DC）=30．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)．