Question

如圖，已知拋物線y=ax²+4ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上．
（1）求出拋物線的對稱軸；
（2）若線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，問S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱軸x=-

b

2a

即可求得．
（2）解方程x²-10x+16=0得出OC、OB的值，從而得出C、B的坐標(biāo)，代入y=ax²+4ax+c，得到二元一次方程，解方程即可求得a、c，進(jìn)而得到拋物線的解析式；
（3）根據(jù)拋物線的解析式求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到AB、OC、OA的長，因?yàn)镋F∥AC得出△BEF∽△BAC，得出

FG

OC

=

BE

BA

，得出FG=8-m，然后根據(jù)S_△CEF=S_△CEB-S_△FEB得出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，把函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求得．

解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+c
∴x=-

4a

2a

=-2
∴拋物線的對稱軸是直線x=-2；

（2）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8
∵OB、OC是方程的兩個根，且OB＜OC
∴B（2，0），C（0，8），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)
∴

0=4a+8a+c 8=c

解得：

a=- 2 3 c=8

∴所求拋物線的表達(dá)式為：y=-

2

3

x2-

8

3

x+8；

（3）∵拋物線y=-

2

3

x2-

8

3

x+8與X軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，8）
∴A（-6，0），B（2，0）
∴AB=8，OC=8，OA=6，
過點(diǎn)F作FG⊥BE于G
∵AE=m
∴BE=AB-AE=8-m．
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC，
∴

FG

OC

=

BE

BA

，即

FG

8

=

8-m

8

，
∴FG=8-m，
∴S_△CEF=S_△CEB-S_△FEB
=

1

2

×（8-m）×8-

1

2

×(8-m)(8-m)
=-

1

2

m²+4m
=-

1

2

（m-4）²+8，（0＜m＜8），
即：S=-

1

2

(m-4)2+8，
當(dāng)m=4時，S有最大值，
S的最大值是8；
∴OE=OA-m=6-m=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的對稱軸的求法，一元二次方程與拋物線的關(guān)系，三角形相似的判定和性質(zhì)；把不規(guī)則的多邊形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的三角形求三角形的面積是本題的關(guān)鍵．