Question

閱讀資料：小明是一個愛動腦筋的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的切線性質(zhì)后，意猶未盡，又查閱到了與圓的切線相關(guān)的一個問題：
如圖1，已知PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，延長BA交切線PC與P，連接AC、BC、OC．
因為PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因為∠B=∠1，所以∠B=∠2．
在△PAC與△PCB中，又因為：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以

PA

PC

=

PC

PB

，即PC²=PA•PB．
問題拓展：
（Ⅰ）如果PB不經(jīng)過⊙O的圓心O（如圖2）等式PC²=PA•PB，還成立嗎？請證明你的結(jié)論；
綜合應(yīng)用：
（Ⅱ）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，PC是⊙O的切線，C是切點，BA的延長線交PC于點P；
（1）當(dāng)AB=PA，且PC=12時，求PA的值；
（2）D是BC的中點，PD交AC于點E．求證：

PC2

PA2

=

CE

AE

．

Answer 1

考點：圓的綜合題,圓周角定理,切線的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)

專題：壓軸題,閱讀型,數(shù)形結(jié)合

分析：（Ⅰ）證法一：如圖2-1，連接PO并延長交⊙O于點D，E，連接BD、AE，易證得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得PA•PB=PD•PE，由圖1知，PC ²=PD•PE，即可證得結(jié)論；
證法二：如圖2-2，過點C作⊙O的直徑CD，連接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切線，易證得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（Ⅱ）（1）由（1）得，PC ²=PA•PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC ²=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA²，繼而求得答案；
（2）證法一：過點A作AF∥BC，交PD于點F，由平行線分線段成比例定理即可求得

PB

PA

=

BD

AF

，

CD

AF

=

CE

AE

，又由PC ²=PA•PB，即可證得結(jié)論；
證法二：過點A作AG∥DP，交BC于點G，由平行線分線段成比例定理即可求得

PB

PA

=

BD

GD

，

CD

DG

=

CE

AE

，又由PC ²=PA•PB，即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)PB不經(jīng)過⊙O的圓心O時，等式PC ²=PA•PB仍然成立．
證法一：如圖2-1，連接PO并延長交⊙O于點D，E，連接BD、AE，
∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴

PD

PA

=

PB

PE

，
即PA•PB=PD•PE，
由圖1知，PC²=PD•PE，
∴PC²=PA•PB．

證法二：如圖2-2，過點C作⊙O的直徑CD，連接AD，BC，AC，
∵PC是⊙O的切線，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD=∠PCD=90°，
即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠2．
∵∠D=∠B，
∴∠B=∠2，
∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以

PA

PC

=

PC

PB

，
即PC ²=PA•PB．

（Ⅱ）由（1）得，PC²=PA•PB，PC=12，AB=PA，
∴PC²=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA²，
∴2PA²=144，
∴PA=±6

2

（負(fù)值無意義，舍去）．
∴PA=6

2

．

（2）證法一：過點A作AF∥BC，交PD于點F，
∴

PB

PA

=

BD

AF

，

CD

AF

=

CE

AE

．
∵D為BC的中點，
∴BD=CD，
∴

BD

AF

=

CD

AF

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA•PB，
∴

PC2

PA2

=

PA•PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．

證法二：過點A作AG∥DP，交BC于點G，
∴

PB

PA

=

BD

GD

，

CD

DG

=

CE

AE

．
∵D為BC的中點，
∴BD=CD，
∴

BD

GD

=

CD

DG

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA•PB，
∴

PC2

PA2

=

PA•PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．