Question

9．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D，E分別為AB，BC上一點(diǎn)，連接DE．
（1）如圖1，若∠CDE=45°，BE=AD，求證：DC=DE；
（2）在（1）的條件下，過E作EF⊥AB于F，求$\frac{EF}{CE}$的值；
（3）如圖2，過E作EF⊥BD于F，若DC=DE，求證：AB=2DF．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°，證出∠BDE=∠ACD，由ASA證明△ACD≌△BDE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）作DH⊥BC于H，則DH∥AC，CH=EH，∠CDH=∠EDH，由平行線和等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACD=∠CDH=∠EDH=∠BDE，由AAS證明△HDE≌△FDE，得出EF=EH=CH，即可得出結(jié)論；
（3）作DM⊥AC于M，則△ADM是等腰直角三角形，四邊形DMCH是矩形，由等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)得出CH=DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，因此CE=$\sqrt{2}$AD，同理得出BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC-AD，得出AD+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=$\sqrt{2}$BC=2（AD+BF），得出DF=AD+BF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠BDE+∠CDE，∠CDE=45°=∠A，
∴∠BDE=∠ACD，
在△ACD和△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}&{\;}\\{AD=BE}&{\;}\\{∠ACD=∠BDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BDE（ASA），
∴DC=DE；
（2）解：作DH⊥BC于H，如圖1所示：
則DH∥AC，CH=EH，∠CDH=∠EDH，
∴∠ACD=∠CDH=∠EDH=∠BDE，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD=90°=∠EHD，
在△HDE和△FDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EHD=∠EFD}&{\;}\\{∠EDH=∠BDE}&{\;}\\{DE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△HDE≌△FDE（AAS），
∴EF=EH=CH，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{2}$；
（3）證明：作DM⊥AC于M，如圖2所示：
則△ADM是等腰直角三角形，四邊形DMCH是矩形，
∴CH=DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，
∴CE=$\sqrt{2}$AD，
同理：BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BC-CE）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BC-$\sqrt{2}$AD）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC-AD，
∴AD+BF=AD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC-AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=2（AD+BF），
∴DF=AD+BF，
∴AB=2DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．