Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過第二象限內(nèi)的點A，AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為4.5
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）若直線y=mx+n經(jīng)過點A（-3，a），并且經(jīng)過反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點C（b，-2），在y軸上是否存在點P使S_△ACP=2S_△AOC？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若點A（-3，a），點C為該雙曲線第四象限上一動點，AC交x軸于E，作AF⊥AC交y軸于點F，當(dāng)點C在該分支上運動時，其他條件不變，OE、OF之間是否存在著某種數(shù)量關(guān)系？若存在，求出這種數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為4.5，可得|k|=9，又由反比例函數(shù)圖象過二、四象限，即可求得反比例函數(shù)的解析式．
（2）首先將A（-3，a），C（b，-2）代入y=-

9

x

得：a=3，b=4.5，可求得直線的解析式，又由S_△ACP=2S_△AOC，分別從當(dāng)P_y＞0時，（P_y-1）×

1

2

×（3+4.5）=

15

2

與當(dāng)P_y＜0時，（-P_y+1）×

1

2

×（3+4.5）=

15

2

去分析求解即可求得答案；
（3）分別從E_x＞0與E_x＜0去分析求解，首先過點A作AM⊥x軸于點M，作AN⊥y軸于點N，易證得△MAE≌△NAF，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵AB⊥x軸，Rt△AOB面積為4.5，
∴|k|=9，
∵反比例函數(shù)圖象過二、四象限，
∴y=-

9

x

；

（2）存在．
將A（-3，a），C（b，-2）代入y=-

9

x

得：a=3，b=4.5，
∴A（-3，3），C（4.5，-2），
將A（-3，3），C（4.5，-2）代入y=mx+n中，
得：

3=-3m+n -2=4.5m+n

，
解得：

m=- 2 3 n=1

，
∴y=-

2

3

x+1，
令x=0，得到y(tǒng)=1，
即E（0，1），
將D（x，0）代入
得：0=-

2

3

x+1，即x=

3

2

，
∴D（

3

2

，0），
∴S_△AOC=S_△AOD+S_△ODC=3×

1

2

×

3

2

+

3

2

×2×

1

2

=

9

4

+

3

2

=

15

4

，
∴S_△ACP=2S_△AOC=

15

2

，
當(dāng)P_y＞0時，（P_y-1）×

1

2

×（3+4.5）=

15

2

，
解得：P_y=3，即P₁（0，3）；
當(dāng)P_y＜0時，（-P_y+1）×

1

2

×（3+4.5）=

15

2

，
解得：P_y=-1，即P₂（0，-1）；
綜上：P（0，3）或（0，-1）；

（3）①E_x＞0，
過點A作AM⊥x軸于點M，作AN⊥y軸于點N，
∵A（-3，3），
∴AM=AN=OM=ON=3，
∵AMO=∠ANO=∠MON=90°，
∴∠MAN=∠CAF=90°，
∴∠MAE+∠EAN=∠EAN+∠NAF，
∴∠MAE=∠NAF，
在△MAE和△NAF中，

∠MAE=∠NAF ∠AME=∠ANF AM=AN

，
∴△MAE≌△NAF（AAS），
∴EM=NF，
∴OF-OE=ON+NF-（ME-OM）=ON+OM=3+3=6；
②若E_x＜0，
過點A作AM⊥x軸于點M，作AN⊥y軸于點N，
∵A（-3，3），
∴AM=AN=OM=ON=3，
∵∠AMO=∠ANO=∠MON=90°，
∴∠MAN=∠C′AF′90°，
∴∠MAE′+∠E′AN=∠E′AN+∠NAF′，
∴∠MAE′=∠NAF′，
在△MAE′和△NAF′中，

∠MAE′=∠NAF′ ∠AME′=∠ANF′ AM=AN

，
∴△MAE′≌△NAF′（AAS），
∴E′M=NF′，
∴OF′+OE′=MO-E′M+NF′+ON=OM+ON=3+3=6．

點評：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)的幾何意義等知識．此題難度較大，綜合性很強，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．