Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），點P是直線BC上方拋物線上的一動點，PE∥y軸，交直線BC于點E連接AP，交直線BC于點 D．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）當AD＝2PD時，求點P的坐標；

（3）求線段的最大值；

（4）當線段最大時，若點F在直線BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（1，4）或P（2，3）；（3）當t＝2時，的值最大為4；（4）

【解析】

（1）由于拋物線與x軸的兩個交點坐標已知，可把拋物線的解析式設成交點式，再代入另一已知點坐標便可求出解析式；

（2）過A作EF⊥x軸，與BC相交于點F，用待定系數(shù)法求出BC的解析式，設P點的橫坐標為t，進而求得AF與PE，由相似三角形的比例線段求得t便可；

（3）根據(jù)PE關于t的函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值便可；

（4）分兩種情況：①當F點在PE的左邊時，過點P作PM⊥BC于點M，過E作EN⊥x軸于點N，過點F作FQ⊥x軸于點Q，過點O作OG⊥AC于點G，取AC的中點H，連接OH，通過三角形相似求出MF的值便可；②將求得的F點坐標，關于PM對稱點便是另一F點．

（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3）（a≠0），

把C（0，3）代入得，3=a×1×（-3），

∴a=-1，

∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3；

（2）過A作AF⊥x軸，與BC相交于點F，如圖1，設P（t，﹣t2+2t+3），

則AF∥PE，

設BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），則，

解得，，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，

∴E（t，﹣t+3），F（﹣1，4），

∴AF＝4，PE＝﹣t2+3t，

∵AF∥PE，

∴△AFD∽△PED，

∴，

∵AD＝2PD，

∴，解得，t＝1或2，

∴P（1，4）或P（2，3）；

（3）∵PE的解析式為：PE＝﹣t2+3t

過點E作EH⊥y軸，如圖2

∴

∴

∴當t＝2時，的值最大為4；

（4）①當F點在PE的左邊時，

過點P作PM⊥BC于點M，過E作EN⊥x軸于點N，過點F作FQ⊥x軸于點Q，過點O作OG⊥AC于點G，取AC的中點H，連接OH，如圖3，

由（3）知，當取最大值時，P（2，3），PE=2，E（2，1），

∵OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴BE=，∠PEM=45°，

∴PM=EM=，

∵，

∴，

，

∴，∠OHG=2∠ACO，

∵∠EFP=2∠ACO，

∴∠EFP=∠OHG，

∵∠OGH=∠PMF，

∴△OGH∽△PMF，

∴，即，

∴MF=，

∴BF=BE+EM+MF=，

∴FQ=BQ=，

∴OQ=BQ-BO=，

∴F（，），

②當F點在PE的右邊時，此時的F點恰好與（，）關于PM對稱，易求此時F（，）．

故F的坐標為（，）或（，）．