【題目】如圖,射線平分,為射線上一點,以為圓心,10為半徑作,分別與兩邊相交于、和、,連結,此時有.
(1)求證:;
(2)若,求弦的長;
【答案】(1)證明過程見解析;(2)12;
【解析】
(1)根據角平分線的定義可得∠DPO=∠BPO,然后根據平行線的性質可得∠DPO=∠POA,從而得出∠BPO=∠POA,然后根據等角對等邊即可證出結論;
(2)過點O作OH⊥AB于點H,根據垂徑定理可得,然后根據銳角三角函數證出PH=2OH,設OH=x,則PH=2x,根據勾股定理列出方程即可求出x,從而求出AH和AB.
(1)證明:∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠BPO,
∵OA∥PE,
∴∠DPO=∠POA,
∴∠BPO=∠POA,
∴PA=OA;
(2)解:過點O作OH⊥AB于點H,則
∵
∴PH=2OH
設OH=x,則PH=2x,
由(1)可知PA=OA=10,
∴AH=PH-PA=2x-10,
∵AH2+OH2=OA2,
∴(2x-10)2+x2=102
解得x1=0(不合題意,舍去),x2=8,
∴AH=6,
∴AB=2AH=12;
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【題目】小明在研究拋物線(為常數)時,得到如下結論,其中正確的是( )
A.無論取何實數,的值都小于0
B.該拋物線的頂點始終在直線上
C.當時,隨的增大而增大,則
D.該拋物線上有兩點,,若,,則
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【題目】三臺縣教育和體育局為幫助萬福村李大爺“精準脫貧”,在網上銷售李大爺自己手工做的竹簾,其成本為每張40元,當售價為每張80元時,每月可銷售100張.為了吸引更多顧客,采取降價措施.據市場調查反映:銷售單價每降1元,則每月可多銷售5張.設每張竹簾的售價為元(為正整數),每月的銷售量為張.
(1)直接寫出與的函數關系式;
(2)設該網店每月獲得的利潤為元,當銷售單價降低多少元時,每月獲得的利潤最大,最大利潤是多少?
(3)李大爺深感扶貧政策給自己帶來的好處,為了回報社會,他決定每月從利潤中捐出200元資助貧困學生.為了保證捐款后每月利潤不低于4220元,求銷售單價應該定在什么范圍內?
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【題目】某校組織學生參加“新冠肺炎”防疫知識競賽,從中抽取了部分學生成績進行統計,并按照成績從低到高分成A,B,C,D,E五個小組,繪制統計圖如表(未完成),解答下列問題:
(1)樣本容量為 ,頻數分布直方圖中a= ;
(2)扇形統計圖中E小組所對應的扇形圓心角為n°,求n的值并補全頻數分布直方圖;
(3)若成績在80分以上(不含80分)為優(yōu)秀,全校共有3000名學生,估計成績優(yōu)秀的學生有多少名?
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【題目】如圖,在平面直角坐標中,拋物線y=ax2+bx+c過點A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),點P是直線BC上方拋物線上的一動點,PE∥y軸,交直線BC于點E連接AP,交直線BC于點 D.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)當AD=2PD時,求點P的坐標;
(3)求線段的最大值;
(4)當線段最大時,若點F在直線BC上且∠EFP=2∠ACO,直接寫出點F的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與x軸交于點,與軸交于點,拋物線經過兩點且與x軸的負半軸交于點.
求該拋物線的解析式;
若點為直線上方拋物線上的一個動點,當時,求點的坐標;
已知分別是直線和拋物線上的動點,當為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出所有符合條件的點的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和.
求一次函數和反比例函數的表達式;
請直接寫出時,x的取值范圍;
過點B作軸,于點D,點C是直線BE上一點,若,求點C的坐標.
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【題目】已知△ABC是邊長為的等邊三角形.將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點O.
(1)如圖a,當θ=20°時,判斷△ABD與△ACE是否全等?并說明理由;
(2)當△ABC旋轉到如圖b所在位置時(60°<θ<120°),求∠BOE的度數;
(3)在θ從60°到120°的旋轉過程中,點O運動的軌跡長為 .
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長.
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