Question

如圖：拋物線y=ax²-4ax+m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CP⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=ax²-4ax+m的對(duì)稱軸公式x=-

b

2a

，即可求得其對(duì)稱軸，又由點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥對(duì)稱軸，可得CP∥AB，易證得四邊形ABPC是平行四邊形，然后設(shè)點(diǎn)C（0，x）（x＜0），證得△BPD∽△BCP，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得x的值，又由二次函數(shù)過點(diǎn)A與C，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式．

解答：解：（1）對(duì)稱軸是x=-

b

2a

=2，
∵點(diǎn)A（1，0）且點(diǎn)A、B關(guān)于x=2對(duì)稱，
∴點(diǎn)B（3，0）；

（2）點(diǎn)A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥對(duì)稱軸于P，
∴CP∥AB，
∵對(duì)稱軸是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，
設(shè)點(diǎn)C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=

x2+1

，
∴BP=

x2+1

，
在Rt△BOC中，BC=

x2+9

，
∵

BD

BC

=

BE

BO

=

1

3

，
∴BD=

1

3

x2+9

，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴BP²=BD•BC，
即（

x2+1

）²=

1

3

x2+9

•

x2+9

，
∴x²+1=

1

3

（x²+9），
∴x₁=

3

，x₂=-

3

，
∵點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)C（0，-

3

），
∴y=ax²-4ax-

3

，
∵過點(diǎn)（1，0），
∴a-4a-

3

=0，
解得：a=-

3

3

．
∴拋物線解析式是：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)對(duì)稱軸的求解方法，二次函數(shù)的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．