【題目】如圖,拋物線與軸相交于,兩點,與軸相交于點,連接,已知,拋物線的對稱軸交軸于點.
備用圖
(1)求該拋物線的解析式;
(2)連接,能否在拋物線上找到一點,使得,若有求點的坐標,若沒有說明理由;
(3)若點為上方拋物線上一動點,過點作軸交于點,過點作,垂足為,當的周長最大時,求點的坐標.
【答案】(1);(2)和;(3)
【解析】
(1)由拋物線解析式可知點C坐標,由可知OB長,易得點B坐標,將點B坐標代入拋物線解析式可得該拋物線的解析式;
(2)分2種情況討論,①若,過點作,交于點,過點作軸于點,由作圖可得利用相似三角形對應線段成比例的性質及勾股定理可得點Q坐標,求出直線CQ的解析式,代入拋物線解析式易得點M坐標;②若,延長交于點,過點作軸于點,根據(jù)等邊三角形三線合一,,則,利用全等三角形的性質可得點H坐標,求出直線CH的解析式代入拋物線解析式可求得點M坐標;
(3)由題意可知,易知,當的周長最大只需最大即可,求出所在直線的解析式,設,則,可表示出,易知當時,最大,即的周長最大,把代入即可求出點P坐標.
解:(1)拋物線與軸相交于點,
點的坐標為,,
,點的坐標為
把代入得:
該拋物線的解析式為:
(2)如圖,若,過點作,交于點,過點作軸于點
拋物線的對稱軸交軸于點
由作圖可得:
設,則
在中,
在中,
,得
,可得:
,
所在直線的解析式為:
把代入解得:
(舍去),
把代入
得:
另一種情況:如圖,若,延長交于點,過點作軸于點,根據(jù)等邊三角形三線合一,,
則
,
,,
所在直線的解析式為:
把代入解得:
(舍去),
把代入得:
綜上所述,滿足條件的點有兩個,分別為:
和
(3)過點作軸交于點,過點作,垂足為,
在中,,,所以
的周長最大只需最大即可,
,
所在直線的解析式為:
點為上方拋物線上一動點,點在上,且軸
設,則
當時,最大,即的周長最大,
把代入得:
即當的周長最大時,點的坐標為.
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【題目】如圖所示,直線與坐標軸交于點,與拋物線交于點,點的坐標是.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點是線段上(不與重合)的一個動點,過點作軸,交拋物線于點,過點作,交直線于點,以為邊作矩形,請求出矩形周長的最大值;
(3)若點在軸正半軸上,當恰好是等腰三角形時,請直接寫出點的坐標.
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【題目】隨著國內疫情基本得到控制,旅游業(yè)也慢慢復蘇,經(jīng)市場調研發(fā)現(xiàn)旅游景點未來天內,旅游人數(shù)與時間的關系如下表;每張門票與時間之間存在如下圖所示的一次函數(shù)關系.(,且為整數(shù))
時間(天) | |||||
人數(shù)(人) |
<>
請結合上述信息解決下列問題:
(1)直接寫出:關于的函數(shù)關系式是 .與時間函數(shù)關系式是 .
(2)請預測未來天中哪一天的門票收入最多,最多是多少?
(3)為支援武漢抗疫,該旅游景點決定從每天獲得的門票收入中拿出元捐贈給武漢紅十字會,求捐款后共有幾天每天剩余門票收入不低于元?
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【題目】已知,如圖,點P是平行四邊形ABCD外一點,PE∥AB交BC于點E.PA、PD分別交BC于點M、N,點M是BE的中點.
(1)求證:CN=EN;
(2)若平行四邊形ABCD的面積為12,求△PMN的面積.
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【題目】如圖,在⊙O中,半徑OA⊥OB,過OA的中點C作FD∥OB交⊙O于D、F兩點,且CD=,以O為圓心,OC為半徑作,交OB于E點.則圖中陰影部分的面積為______________.
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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展,人們的支付方式發(fā)生了巨大改變,某學習小組抽樣調查了春節(jié)期間某商場顧客的支付方式,主要有現(xiàn)金支付、銀聯(lián)卡支付和手機支付,調查得知使用這三種支付的人數(shù)比為,手機支付已成為市民購物便捷支付方式.手機支付主要有以下三種方式:~支付寶,~微信,~其他.現(xiàn)將使用手機支付方式人數(shù)的調查結果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.
(1)扇形統(tǒng)計圖中,________;請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)若該商場春節(jié)期間共20000人購物,請估計用支付寶進行支付的人數(shù).
(3)經(jīng)調查某天顧客現(xiàn)金支付、銀聯(lián)卡支付、手機支付每筆交易發(fā)生的平均金額分別為120元、260元、80元,求這天顧客每筆交易的平均金額.
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【題目】某市在開展線上教學活動期間,為更好地組織初中學生居家體育鍛煉,隨機抽取了部分初中學生對“最喜愛的體育鍛煉項目”進行線上問卷調查(每人必須且只選其中一項),得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖表信息回答下列問題:
類別 | 項 目 | 人數(shù) |
A | 跳繩 | 59 |
B | 健身操 | ▲ |
C | 俯臥撐 | 31 |
D | 開合跳 | ▲ |
E | 其它 | 22 |
(1)求參與問卷調查的學生總人數(shù).
(2)在參與問卷調查的學生中,最喜愛“開合跳”的學生有多少人?
(3)該市共有初中學生約8000人,估算該市初中學生中最喜愛“健身操”的人數(shù).
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【題目】如圖,已知在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AE,DF分別是∠OAD與∠ODC的平分線,AE的延長線與DF相交于點G,則下列結論:①AG⊥DF;②EF∥AB;③AB=AF;④AB=2EF.其中正確的結論是( )
A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
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【題目】水城門位于淀浦河和漕港河三叉口,是環(huán)城水系公園淀浦河夢蝶島區(qū)域重要的標志性景觀.在課外實踐活動中,某校九年級數(shù)學興趣小組決定測量該水城門的高.他們的操作方法如下:如圖,先在D處測得點A的仰角為20°,再往水城門的方向前進13米至C處,測得點A的仰角為31°(點D、C、B在一直線上),求該水城門AB的高.(精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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