Question

1．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)H在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c，得到關(guān)于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值，即可求得拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再計(jì)算得出AB²+AC²=BC²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（n，0），得出AC²=80，AH²=n²+16，HC²=（n-8）²=n²-16n+64．當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①AH=AC；②HC=AC；③AH=HC；分別列出關(guān)于n的方程，解方程即可；
（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，0），那么BN=t+2，過(guò)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D．根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，求出MD=$\frac{2}{5}$（t+2），再根據(jù)S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN，得出S_△AMN=-$\frac{1}{5}$（t-3）²+5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，4），C（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∴當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得x₁=8，x₂=-2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）．
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²=4²+2²=20，
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=4²+8²=80，
∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中，AB²+AC²=20+80=100=10²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（n，0），則AC²=80，AH²=n²+16，HC²=（n-8）²=n²-16n+64．
當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，可分三種情況：
①如果AH=AC，那么n²+16=80，解得n=±8（正值舍去），
此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-8，0）；
②如果HC=AC，那么（n-8）²=80，解得n=8±4$\sqrt{5}$，
此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（8+4$\sqrt{5}$，0）或（8-4$\sqrt{5}$，0）；
③如果AH=HC，那么n²+16=n²-16n+64，解得n=3，
此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（3，0）；
綜上所述，若點(diǎn)H在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)分別為（-8，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）、（3，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）；

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，0），則BN=t+2，過(guò)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D．
∵M(jìn)D∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$，
∵NM∥AC，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，
∵AO=4，BC=10，BN=t+2，
∴MD=$\frac{2}{5}$（t+2），
∴S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN
=$\frac{1}{2}$BN•OA-$\frac{1}{2}$BN•MD
=$\frac{1}{2}$×（t+2）×4-$\frac{1}{2}$×（t+2）×$\frac{2}{5}$（t+2）
=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t+$\frac{16}{5}$
=-$\frac{1}{5}$（t-3）²+5，
∴當(dāng)t=3時(shí)，△AMN面積最大，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論以及方程思想是解題的關(guān)鍵．