Question

如圖1所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＞β），請你根據(jù)（1）問的結(jié)果大膽猜想∠DAE與α，β間的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖2所示，F(xiàn)是AE上任意一點過F作FG垂直BC于G，若∠B=80°，∠C=40°，運用（2）的結(jié)論求出∠EFG的度數(shù)．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠BAC度數(shù)，求出∠CAE度數(shù)，求出∠CAD，相減即可．
（2）求出∠BAC度數(shù)，求出∠CAE度數(shù)，求出∠CAD，相減即可．
（3）推出AD∥FG，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠EFG=∠DAE，代入即可．

解答：解：（1）∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-30°-70°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=70°，
∴∠DAB=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（2）∠DAE=

1

2

α-

1

2

β，
理由是：∵∠C=β，∠B=α，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-α-β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×（180°-α-β）=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAB=180°-90°-α=90°-α，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-

1

2

α-

1

2

β-（90°-α）=

1

2

α-

1

2

β；

（3）∵∠C=40°，∠B=80°，
∴∠DAE=

1

2

×80°-

1

2

×40°=20°，
∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠ADE=∠FGE=90°，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE=20°．

點評：本題考查了垂直定義，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．