Question

【題目】如圖，過拋物線y= x2﹣2x上一點(diǎn)A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣2．

（1）求拋物線的對稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)D；
①連結(jié)BD，求BD的最小值；
②當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意A（﹣2，5），對稱軸x=﹣ =4，

∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，

∴B（10，5）．

（2）

解：①如圖1中，

由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，

∴當(dāng)O、D、B共線時(shí)，BD的最小值=OB﹣OD= ﹣5=5 ﹣5．

②如圖中，

當(dāng)點(diǎn)D在對稱軸上時(shí)，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE= = =3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．

設(shè)PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，

∴x= ，

∴P（ ，5），

∴直線PD的解析式為y=﹣ x+ ．

【解析】（1）思想確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用對稱軸公式求出對稱軸，再根據(jù)對稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）①由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，推出當(dāng)O、D、B共線時(shí)，BD的最小值=OB﹣OD；②當(dāng)點(diǎn)D在對稱軸上時(shí)，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE= = =3，求出P、D的坐標(biāo)即可解決問題；
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．即可以解答此題．