Question

如圖，已知拋物線y=-

1

4

x²+bx+4與x軸相交于AB兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，0）．（1）求拋物線的表達(dá)式及它的對(duì)稱軸方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-

b

2a

求出對(duì)稱軸方程；
（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）本問(wèn)為存在型問(wèn)題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x²+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），
∴-

1

4

×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=

3

2

，
∴拋物線解析式為 y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
又∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
∴對(duì)稱軸方程為：x=3．

（2）在y=-

1

4

x²+

3

2

x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，整理得x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：

8k+b=0 b=4

，
解得：

k=- 1 2 b=4

，
∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+4．

（3）∵拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，
可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：
AC=

22+42

=

20

=2

5

，
AQ=

52+t2

=

25+t2

，
CQ=

32+(t-4)2

=

(t-4)2+9

．
i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，
有

25+t2

=

(t-4)2+9

，
25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，
有

25+t2

=2

5

，
t²=-5，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；
iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，
有2

5

=

(t-4)2+9

，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±

11

，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．
綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（3，0），Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．