Question

矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AE∥BD，DE∥AC．
（1）四邊形AODE是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．
（2）若AC=4，∠ODE=60°，求四邊形AODE的面積．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出四邊形AODE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)對角線互相平分且相等可得OA=OD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答；
（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分求出OA，OB=OD，根據(jù)矩形的對角線相等可得BD=AC，再根兩直線平行，同位角相等可得∠AOB=∠ODE，然后判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AB，再利用勾股定理列式求出AD，然后求出△ABD的面積，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出S_△AOD，最后根據(jù)S_{四邊形AODE}=2S_△AOD解答．

解答：（1）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴四邊形AODE是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=

1

2

AC=

1

2

×4=2，BD=AC=4，
∵AC∥DE，∠ODE=60°，
∴∠AOB=∠ODE=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴AB=OA=2，
由勾股定理得，AD=

BD2-AB2

=

42-22

=2

3

，
∴S_△ABD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∵OB=OD，
∴S_△AOD=

1

2

S_△ABD=

1

2

×2

3

=

3

，
∴S_{四邊形AODE}=2S_△AOD=2

3

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記矩形的對角線互相平分且相等以及菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．