Question

如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC邊上
（1）如果FE⊥AE，求證：FE=AE；
（2）如果FE=AE，求證：FE⊥AE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=∠CBE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABE=∠BEC，然后求出∠CBE=∠BEC，根據(jù)等角對等邊可得BC=CE，根據(jù)矩形的對邊相等可得AD=BC，從而得到AD=CE，再根據(jù)同角的余角相等求出∠DAE=∠CEF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FE=AE；
（2）同（1）求出AD=CE，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ECF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAE=∠CEF，然后求出∠AED+∠CEF=90°，再根據(jù)平角等于180°求出∠AEF=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答：證明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵矩形對邊AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=CE，
∵矩形ABCD的對邊AD=BC，
∴AD=CE，
∵FE⊥AE，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
在△ADE和△ECF中，

∠DAE=∠CEF AD=CE ∠C=∠D=90°

，
∴△ADE≌△ECF（ASA），
∴FE=AE；

（2）同（1）可證AD=CE，
在Rt△ADE和Rt△ECF中，

FE=AE AD=CE

，
∴Rt△ADE≌Rt△ECF（HL），
∴∠DAE=∠CEF，
∴∠AED+∠CEF=∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AEF=180°-（∠AED+∠CEF）=180°-90°=90°，
∴FE⊥AE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．