【題目】如圖1,在△OMN中,∠MON=90°,OM=6cm,∠OMN=30°.等邊△ABC的頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合,BC在OM上,點(diǎn)A恰好在MN上.
(1)求等邊△ABC的邊長(zhǎng);
(2)如圖2,將等邊△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移,邊AB、AC分別與MN交于點(diǎn)E、F,在△ABC平移的同時(shí),點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿折線B→A→C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P達(dá)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng),△ABC也隨之停止平移.設(shè)△ABC平移時(shí)間為t(s)
①用含t的代數(shù)式表示AE的長(zhǎng),并寫出t的取值范圍;
②在點(diǎn)P沿折線B→A→C運(yùn)動(dòng)的過程中,是否在某一時(shí)刻,點(diǎn)P、E、F組成的三角形為等腰三角形?若存在,求出此時(shí)t值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)3cm;(2)①()②t值為或2或
【解析】試題分析:(1)根據(jù),∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形,求證△OAM為直角三角形,然后即可得出答案.
(2)①由直角三角形的性質(zhì)得出ON=2,MN=4.證明△OMN∽△BEM,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,得出BE,即可得出AE的長(zhǎng),容易得出t的取值范圍;
②△PEF為等腰三角形,分情況討論,求出t的值,如果在0<t<3這個(gè)范圍內(nèi)就存在,否則就不存在.
試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,
∴∠AOC=60°,
又∵∠OMN=30°
∴∠OAM=90°,OA⊥MN,
即△OAM為直角三角形,
∴OA=OM=3cm,
即等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3cm.
(2)①∵BM=6-t,OM=6cm,∠OMN=30°,
∴ON=2,MN=4.
∵∠M=∠M,∠N=∠MBE=60°,
∴△OMN∽△BEM,
∴,即,
∴BE=,
∴AE=AB-BE=(0≤t≤3);
②存在;理由如下:
分4種情況:
(a)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間0≤t≤,
∵△PEF為等腰三角形,∠PEF=90°
∴PE=EF,
∵∠A=60°,∠AFE=30°,
∴EF=AE=(3-BE)=(3-)=t,
∴=t或=t,
解得t=或>(故舍去),
(b)當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí),
若PE=PF時(shí),點(diǎn)P為EF的垂直平分線與AC的交點(diǎn),
此時(shí)P為直角三角形PEF斜邊AF的中點(diǎn),
∴PF=AP=2t-3,
∵點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿折線B→A→C運(yùn)動(dòng),
∴0<t<3,在直角三角形中,cos30°=,
解得:t=2,
若FE=FP,
AF= ,
則t-(2t-3)=t,
解得:t=12-6;
(c)當(dāng)PE=EF,P在AE上時(shí)無解,
(d)當(dāng)P點(diǎn)在CF上時(shí),AP=2t-3,AF=t,則PF=AP-AF=t-3=EF,所以t-3=t,
解得 t=12+6>3,不合題意,舍去.
綜上,存在t值為或12-6或2時(shí),△PEF為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求DE的長(zhǎng)。
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,
(1)已知點(diǎn)在軸上,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知兩點(diǎn), ,若軸,點(diǎn)B在第一象限,求m的值,并確定n的取值范圍。
(3)在(1)(2)的條件下,如果線段AB的長(zhǎng)度是5,求以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形的面積S。
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【題目】如圖,點(diǎn)E在△ABC外部,點(diǎn)D在邊BC上,DE交AC于點(diǎn)F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,求證△ABC≌△ADE.
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【題目】如圖,將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊,使點(diǎn)C剛好落在線段AD上,且折痕分別與邊BC,AD相交,設(shè)折疊后點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H,折痕分別與邊BC,AD相交于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)判斷四邊形CEGF的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.
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【題目】被譽(yù)為“里下河的明珠”的九龍口自然保護(hù)區(qū),地處射陽(yáng)湖腹部的建湖縣九龍口鎮(zhèn),由蜆河等9條自然河道匯集而成,水面約6670萬平方米,這里藏壘水禽野味,廣植柴蒲菱藕,盛產(chǎn)魚蝦螃蟹,有“金灘銀蕩”之美譽(yù),是天然的“聚寶盆”,其中6670萬平方米用科學(xué)記數(shù)法表示為平方米.
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