Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D．
（1）求證：D是BC的中點；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為點E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連接AD，如圖，先根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質得到BD=CD；
（2）連接OD，易得OD為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得OD∥AC，由于DE⊥AC，根據(jù)平行線的性質得DE⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到
直線DE是⊙O的切線．

解答：證明：（1）連接AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
即D是BC的中點；

（2）連接OD，如圖，
∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴直線DE是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質．