Question

（2012•鞍山二模）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，y軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)A（3，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（6，0）．
（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）如果一次函數(shù)圖象與y軸相交于點(diǎn)C，E是拋物線上OA段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點(diǎn)D，∠DOE=∠EDA，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是線段AC延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于F，以點(diǎn)O、C、M、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為菱形？若能，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）由于DE∥y軸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，而∠DOE=∠EDA，則∠DOE=∠OCD，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OCD∽△DOE，所以O(shè)C：OD=OD：DE，即OD²=OC•DE，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

1

3

a²），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，6-a），利用勾股定理計(jì)算出OD²=a²+（6-a）²，=2a²-12a+36，而OC=6，DE=6-a-

1

3

a²，則2a²-12a+36=6（6-a-

1

3

a²），解得a=

3

2

，即可確定E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過O點(diǎn)作OF∥AC交拋物線于F，過F點(diǎn)作FM∥y軸交AC延長線于M點(diǎn)，交x軸于H點(diǎn)，則四邊形OCMF為平行四邊形，易得∠OBC=45°，則∠HOF=45°，于是△OHF為等腰直角三角形，得到HO=HF，
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m）（m＞0），把F點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可求出m=-3，得到HO=HF=3，OF=

2

OH=3

2

，而OC=6，所以判斷四邊形OCMF不為菱形．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²，
把點(diǎn)A（3，3）代入得3=a×3²，解得a=

1

3

；
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)A（3，3）、點(diǎn)B（6，0）代入得

3k+b=3 6k+b=0

，解得

k=-1 b=6

，
所以二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式分別為y=

1

3

x²，y=-x+6；

（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∵DE∥y軸，
∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，
∵∠DOE=∠EDA，
∴∠DOE=∠OCD，
∴△OCD∽△DOE，
∴OC：OD=OD：DE，即OD²=OC•DE，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

1

3

a²），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，6-a），
OD²=a²+（6-a）²，=2a²-12a+36，OC=6，DE=6-a-

1

3

a²，
∴2a²-12a+36=6（6-a-

1

3

a²），解得a₁=0，a₂=

3

2

，
∵E是拋物線上OA段上一點(diǎn)，
∴0＜a＜3，
∴a=

3

2

，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（

3

2

，

3

4

）；

（3）以點(diǎn)O、C、M、F為頂點(diǎn)的四邊形不能為菱形．理由如下：
如圖，過O點(diǎn)作OF∥AC交拋物線于F，過F點(diǎn)作FM∥y軸交AC延長線于M點(diǎn)，交x軸于H點(diǎn)，
則四邊形OCMF為平行四邊形，
∵OC=OB=6，
∴△OCB為等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∴∠HOF=45°，
∴△OHF為等腰直角三角形，
∴HO=HF，
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m）（m＞0），
把F（m，-m）代入y=

1

3

x²得-m=

1

3

m²，解得m₁=0，m₂=-3，
∴m=-3，
∴HO=HF=3，
∴OF=

2

OH=3

2

，
而OC=6，
∴四邊形OCMF不為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題：會(huì)待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法；在幾何計(jì)算中常利用三角形相似比和勾股定理．