Question

20．如圖，拋物線y=a（x-$\sqrt{2}$m）²-m（其中m＞1）與其對稱軸l相交于點P，與y軸相交于點A（0，m）．點A關于直線l的對稱點為B，作BC⊥x軸于點C，連接PC、PB，與拋物線、x軸分別相交于點D、E，連接DE．將△PBC沿直線PB翻折，得到△PBC′．
（1）該拋物線的解析式為y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$；（用含m的式子表示）；
（2）探究線段DE、BC的關系，并證明你的結論；
（3）直接寫出C′點的坐標（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入拋物線解析式，即可求出a的值；
（2）根據拋物線的解析式，求出頂點P的坐標，根據對稱軸，求出點B，C的坐標，根據待定系數法求出直線BP、CP的解析式，求出點D、E的坐標，進而求出DE，BC的長度，即可解得；
（3）連接CC′交直線BP于點F，則CC′⊥BP，且CF=C′F，求出CC′的解析式，進而求得點F的坐標，根據CF=C′F，即可解答．

解答 解：（1）把點A（0，m）代入y=$a（x-2\sqrt{2}m）^{2}-m$，
得：2am²-m=m，
am-1=0，
∵am＞1，
∴a=$\frac{1}{m}$，
∴y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$，
故答案為：y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$；
（2）DE=$\frac{1}{2}$BC．
理由：又拋物線y=$\frac{1}{m}（x-\sqrt{2}m）^{2}-m$，可得拋物線的頂點坐標P（$\sqrt{2}$m，-m），
由l：x=$\sqrt{2}$m，可得：點B（2$\sqrt{2}$m，m），
∴點C（2$\sqrt{2}$m，0）．
設直線BP的解析式為y=kx+b，點P（$\sqrt{2}$m，-m）和點B（2$\sqrt{2}$m，m）在這條直線上，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}mk+b=-m}\\{2\sqrt{2}mk+b=m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}}\\{b=-3m}\end{array}\right.$，
∴直線BP的解析式為：y=$\sqrt{2}$x-3m，
令y=0，$\sqrt{2}$x-3m=0，解得：x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}m$，
∴點D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}m$，0）；
設直線CP的解析式為y=k₁x+b₁，點P（$\sqrt{2}$m，-m）和點C（2$\sqrt{2}$m，0）在這條直線上，
得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}m{k}_{1}+_{1}=0}\\{\sqrt{2}m{k}_{1}+_{1}=-m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{_{1}=-2m}\end{array}\right.$，
∴直線CP的解析式為：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-2m；
拋物線與直線CP相交于點E，可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{m}（x-2m）^{2}-m}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x-2m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}m}\\{{y}_{1}=-\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\sqrt{2}m}\\{{y}_{2}=-m}\end{array}\right.$（舍去），
∴點E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}m$，-$\frac{m}{2}$）；
∵x_D=x_E，
∴DE⊥x軸，
∴DE=y_D-y_E=$\frac{m}{2}$，BC=y_B-y_C=m=2DE，
即DE=$\frac{1}{2}$BC；
（3）C′（$\frac{4\sqrt{2}}{3}m$，$\frac{2}{3}m$）．
連接CC′，交直線BP于點F，
∵BC′=BC，∠C′BF=∠CBF，
∴CC′⊥BP，CF=C′F，
設直線BP的解析式為y=kx+b，點B（2$\sqrt{2}$m，m），P（$\sqrt{2}$m，-m）在直線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}mk+b=m}\\{\sqrt{2}mk+b=-m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}}\\{b=-3m}\end{array}\right.$，
∴直線BP的解析式為：y=$\sqrt{2}$x-3m，
∵CC′⊥BP，
∴設直線CC′的解析式為：y=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$x+b₁，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}m+_{1}=0$，解得：b₁=2m，
聯(lián)立①②，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x-3m}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5\sqrt{2}}{3}m}\\{y=\frac{m}{3}}\end{array}\right.$，
∴點F（$\frac{5\sqrt{2}}{3}m$，$\frac{m}{3}$），
∴CF=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{3}m-2\sqrt{2}m）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
設點C′的坐標為（a，$-\frac{\sqrt{2}}{2}a+2m$），
∴C′F=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{3}m-a）^{2}+（\frac{m}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}a-2m）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$，解得：a=$\frac{4\sqrt{2}}{3}m$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}a+2m=\frac{2}{3}m$，
∴C′（$\frac{4\sqrt{2}}{3}m$，$\frac{2}{3}m$）．

點評 本題主要考查二次函數與一次函數的綜合運用，能夠熟練求出直線的解析式和各點的坐標是解決此題的關鍵．