Question

11．如圖，在△ABC中，5AB=6AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，F(xiàn)G=FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則$\frac{AG}{FD}$的值為$\frac{10}{7}$．

Answer 1

分析 利用角平分線的性質(zhì)，得到BD=$\frac{6}{5}$CD，延長AC，構(gòu)造一對全等三角形△ABD≌△AMD；過點M作MN∥AD，構(gòu)造平行四邊形DMNG．由MD=BD=KD=$\frac{6}{5}$CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關(guān)系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；由MN∥AD，列出比例式，求出$\frac{AG}{FD}$的值．

解答 解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h．
∵$\frac{BD}{CD}$=$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•h}{\frac{1}{2}AC•h}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{5}$，
∴BD=$\frac{6}{5}$CD．
如右圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM=AB，則有AC=4CM．連接DM．
在△ABD與△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠BAD=∠MAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=$\frac{6}{5}$CD．
過點M作MN∥AD，交EG于點N，交DE于點K．
∵MN∥AD，
∴$\frac{CK}{CD}$=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{1}{5}$，
∴CK=$\frac{1}{5}$CD，
∴KD=$\frac{6}{5}$CD．
∴MD=KD，即△DMK為等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（對頂角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四邊形DMNG為平行四邊形，
∴MN=DG=2FD．
∵點H為AC中點，AC=5CM，
∴$\frac{AH}{MH}$=$\frac{5}{7}$．
∵MN∥AD，
∴$\frac{AG}{MN}$=$\frac{AH}{MH}$，即$\frac{AG}{2FD}$=$\frac{5}{7}$，
∴$\frac{AG}{FD}$=$\frac{10}{7}$．
故答案為$\frac{10}{7}$．

點評 本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作平行線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．