Question

3．已知：如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，且AD=DC．
（1）求證：AB=BC；
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且CF=DC，求sin∠CAE的值．

Answer 1

分析 （1）由AB為直徑，根據(jù)圓周角的性質(zhì)，可得BD⊥AC，又由AD=DC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可證得AB=BC；
（2）由BF切⊙O于點(diǎn)B，易證得△ABD∽△BFD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得BD的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AD=DC，
∴AB=BC；

（2）解：∵BF切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠ABF=90°，
∴∠BAF+∠F=90°．
又∵∠BAF+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠F，
∴△ABD∽△BFD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DF}$，
∴BD²=AD•DF．
又∵CF=DC，
∴CF=DC=AD，
設(shè)CF=DC=AD=k，
則BD²=AD•DF=k•2k=2k²，
∴$BD=\sqrt{2}k$．
在Rt△BCD中，$BC=\sqrt{3}k$，$sin∠CBD=\frac{k}{{\sqrt{3}k}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
又∵∠CBD=∠CAE，
∴$sin∠CAE=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意證得△ABD∽△BFD是關(guān)鍵．