【題目】如圖1,已知∠ACD是△ABC的一個外角,我們?nèi)菀鬃C明∠ACD=∠A+B,即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.那么,三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?

嘗試探究:(1)如圖2,∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角,則∠DBC+ECB  A+180°(橫線上填>、<或=)

初步應(yīng)用:(2)如圖3,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形ABDE,∠1135°,則∠2-∠C     

解決問題:(3)如圖4,在△ABC中,BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB,∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系?請利用上面的結(jié)論直接寫出答案      

4)如圖5,在四邊形ABCD中,BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB,請利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1=;(245°;(3)∠P=90°-A;(4)∠P=180°-AD

【解析】

1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠DBC=A+∠ACB,∠ECB=A+∠ABC,然后求和并根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;

2)根據(jù)(1)的結(jié)論即可求出∠2-∠C

3)根據(jù)(1)的結(jié)論可得∠DBC+ECB=A+180°,然后根據(jù)角平分線的定義計算出∠CBP+∠BCP,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;

4)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D,然后根據(jù)平角的定義可推出∠EBC+∠FCB=A+∠D,然后根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

解:(1)∵∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角

∴∠DBC=A+∠ACB,∠ECB=A+∠ABC

∴∠DBC+ECB=A+∠ACB+∠A+∠ABC=A+(∠ACB+∠A+∠ABC=A+180°

故答案為:=;

2)由(1)的結(jié)論可知:∠1+∠2=C180°

∵∠1135°

∴∠2-∠C180°-∠1=45°

故答案為:45°

3)由(1)的結(jié)論可知:∠DBC+ECB=A+180°

BPCP分別平分外角∠DBC、∠ECB,

∴∠CBP=DBC,∠BCP=ECB

∴∠CBP+∠BCP

=DBCECB

=(∠DBC+∠ECB

=(∠A+180°

=A90°

∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°

∴∠P=180°-(∠CBP+∠BCP

=180°-(A90°)

=90°-A

故答案為:∠P=90°-A

4)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D

∵∠EBC=180°-∠ABC,∠FCB=180°-∠DCB

∴∠EBC+∠FCB

=180°-∠ABC180°-∠DCB

=360°-(∠ABC+∠DCB

=360°-(360°-∠A-∠D

=A+∠D

BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB,

∴∠CBP=EBC,∠BCP=FCB

∴∠CBP+∠BCP

=EBCFCB

=(∠EBC+∠FCB

=(∠A+∠D

∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°

∴∠P=180°-(∠CBP+∠BCP

=180°-(∠A+∠D

=180°-AD

練習(xí)冊系列答案
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【題目】小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如:3+2,善于思考的小明進行了以下探索:

設(shè)a+b(其中a、b、m、n均為整數(shù)),

則有:a+b,∴am2+2n2b2mn,這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:

(1)abm、n均為正整數(shù)時,若a+b,用含m、n的式子分別表示ab得:a   ,b   ;

(2)利用所探索的結(jié)論,用完全平方式表示出:7+4   

(3)請化簡:.

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【題目】周末,七(1)班的小明等同學(xué)隨家長一同到某公園游玩,下面是購買門票時,小明與他爸爸的對話,試根據(jù)對話中的信息,解答下列問題:

兒子:爸爸,成人門票是每張20元;學(xué)生門票是五折優(yōu)惠;

團體票(16人及16人以上),按成人票的六折優(yōu)惠.

爸爸:我們成人、學(xué)生一共12人,共需200元.

1)設(shè)小明他們一共去了學(xué)生人,則成人購買門票的總費用為: 元;(用含的代數(shù)式表示)

2)七(1)班小明他們一共去了幾個成人、幾個學(xué)生?

3)正在購票時,小明發(fā)現(xiàn)七(2)班的小軍等10名同學(xué)和他們的7名家長共17人也來購票,他們準備聯(lián)合一起購買門票,請你為這29人的團隊設(shè)計出最省的購票方案(直接寫出方案即可,無需討論),并求出此時的購票費用.

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【題目】為弘揚中華傳統(tǒng)文化,某學(xué)校決定開設(shè)民族器樂選修課.為了更貼合學(xué)生的興趣,對學(xué)生最喜愛的一種民族樂器進行隨機抽樣調(diào)查,收集整理數(shù)據(jù)后,繪制出以下兩幅未完成的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖1和圖2提供的信息,解答下列問題:

1)在這次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查 名學(xué)生;

2)請把條形圖(圖1)補充完整;

3)求扇形統(tǒng)計圖(圖2)中,二胡部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);

4)如果該校共有學(xué)生1500名,請你估計最喜愛古琴的學(xué)生人數(shù).

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【題目】問題呈現(xiàn)

如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點、、,相交于點,求的值.

方法歸納

求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題.比如連接格點、,可得,則,連接,那么就變換到中.

問題解決

(1)直接寫出圖1的值為_________;

(2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,相交于點,求的值;

思維拓展

(3)如圖3,,點上,且,延長,使,連接的延長線于點,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求的度數(shù).

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1)仿照上面的例子,寫出第6個式子為:;

2)由此猜想,第個式子是什么?并證明你的猜想.

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【題目】閱讀材料:

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回答問題(直接寫出結(jié)果):

(1)方案二中,直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為_______cm和_______cm;

(2)小明通過計算,發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率是________(填準確值),近似值約為38.2%.相比之下,方案二的利用率是________%.小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低,又進行了新的設(shè)計(方案三),請直接寫出方案三的利用率是________.

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