【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,OBC邊上一點,以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D,與AC、BC邊分別交于點EF、G,連接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=

1)求⊙O的半徑OD;

2)求證:AE⊙O的切線;

3)求圖中兩部分陰影面積的和.

【答案】13;(2)證明見解析;(3

【解析】試題分析:(1)由AB為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中,利用銳角三角函數(shù)定義,根據(jù)tan∠BODBD的值,求出OD的值即可;

2)連接OE,由AE=OD=3,且ODAE平行,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到OEAD平行,再由DAAE垂直得到OEAC垂直,即可得證;

3)陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積扇形DOF的面積扇形EOG的面積,求出即可.

解:(1∵AB與圓O相切,

∴OD⊥AB,

Rt△BDO中,BD=2,tan∠BOD==

∴OD=3;

2)連接OE,

∵AE=OD=3AE∥OD,

四邊形AEOD為平行四邊形,

∴AD∥EO,

∵DA⊥AE

∴OE⊥AC,

∵OE為圓的半徑,

∴AE為圓O的切線;

3∵OD∥AC,

=,即=,

∴AC=7.5,

∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5,

∴S陰影=SBDO+SOEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG

=×2×3+×3×4.5﹣

=3+

=

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