【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC邊上一點,以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D,與AC、BC邊分別交于點E、F、G,連接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.
(1)求⊙O的半徑OD;
(2)求證:AE是⊙O的切線;
(3)求圖中兩部分陰影面積的和.
【答案】(1)3;(2)證明見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)由AB為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中,利用銳角三角函數(shù)定義,根據(jù)tan∠BOD及BD的值,求出OD的值即可;
(2)連接OE,由AE=OD=3,且OD與AE平行,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行,再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直,即可得證;
(3)陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積﹣扇形DOF的面積﹣扇形EOG的面積,求出即可.
解:(1)∵AB與圓O相切,
∴OD⊥AB,
在Rt△BDO中,BD=2,tan∠BOD==,
∴OD=3;
(2)連接OE,
∵AE=OD=3,AE∥OD,
∴四邊形AEOD為平行四邊形,
∴AD∥EO,
∵DA⊥AE,
∴OE⊥AC,
又∵OE為圓的半徑,
∴AE為圓O的切線;
(3)∵OD∥AC,
∴=,即=,
∴AC=7.5,
∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5,
∴S陰影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
=×2×3+×3×4.5﹣
=3+﹣
=.
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【題目】將一副三角板的兩個銳角頂點重合,,,,分別是,的平分線.
(1)如圖①所示,當與重合時,則的大小為______.
(2)當繞著點旋轉(zhuǎn)至如圖②所示,當,則的大小為多少?
(3)當繞著點旋轉(zhuǎn)至如圖③所示,當時,求的大小.
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【題目】已知點在數(shù)軸上對應的數(shù)為,點對應的數(shù)為,且G為線段上一點,兩點分別從點沿方向同時運動,設點的運動速度為點的運動速度為,運動時間為.
(1)點對應的數(shù)為 ,點對應的數(shù)為 ;
(2)若,試求為多少時,兩點的距離為;
(3)若,點為數(shù)軸上任意一點,且,請直接寫出的值.
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【題目】設(a,b)是一次函數(shù)y=(k-2)x+m與反比例函數(shù)的圖象的交點,且a、b是關于x的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根,其中k為非負整數(shù),m、n為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.
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【題目】閱讀材料,并回答問題:
材料:數(shù)學課上,老師給出了如下問題.
如圖1,點A、B、C均在直線l上,AB = 8,BC = 2,M是AC的中點,求AM的長.
小明的解答過程如下:
解:如圖2,
∵ AB = 8,BC = 2,
∴ AC = AB-BC = 8-2 = 6.
∵ M是AC的中點,
∴ ( ① ).
小芳說:“小明的解答不完整”.
問題:(1)小明解答過程中的“①”為 ;
(2) 你同意小芳的說法嗎?如果同意,請將小明的解答過程補充完整;如果不同意,請說明理由.
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【題目】小華在某月的日歷上圈出相鄰的四個數(shù),算出這四個數(shù)字的和為,那么這四個數(shù)在日歷上位置的形式是( )
A.B.C.D.
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【題目】某藍莓種植生產(chǎn)基地產(chǎn)銷兩旺,采摘的藍莓部分加工銷售,部分直接銷售,且當天都能銷售完,直接銷售是40元/斤,加工銷售是130元/斤(不計損耗).已知基地雇傭20名工人,每名工人只能參與采摘和加工中的一項工作,每人每天可以采摘70斤或加工35斤.設安排x名工人采摘藍莓,剩下的工人加工藍莓.
(1)若基地一天的總銷售收入為y元,求y與x的函數(shù)關系式;
(2)試求如何分配工人,才能使一天的銷售收入最大?并求出最大值.
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【題目】小蟲從某點O出發(fā)在一直線上來回爬行,假定向右爬行的路程記為正,向左爬行的路程記為負,爬過的路程依次為(單位:cm):
+5,﹣3,+10,﹣8,﹣6,+12,﹣10.
問:
(1)請說明小蟲最后的具體位置?
(2)小蟲離開出發(fā)點O最遠是多少厘米?
(3)在爬行過程中,如果每爬行1cm獎勵三粒芝麻,則小蟲共可得到多少粒芝麻?
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