Question

10．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動，當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．
解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最��？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由；
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得AP=AQ，易得∠EQC=45°，可得CE=CQ，由CE=t，則BP=2t，CQ=t，∴AQ=8-t，利用勾股定理可得AB，則AP=10-2t，AQ=8-t，可得10-2t=8-t，解得t；  
（2）過P作PM⊥BE，交BE于M，由$sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{PM}{BP}$可得PM，因為y=S_△ABC-S_△BPE，易得y與t的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得y的最小值；
（3）假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上，過P作PN⊥AC，交AC于N，易得△PAN∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)可得PN，AN，NQ，因為∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，可得△QCF∽△QNP，利用相似三角形的性質(zhì)列式，可解得結(jié)果．

解答 解：（1）如圖（1），∵點A在線段PQ的垂直平分線上，∴AP=AQ，
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°，∴∠DEF=∠EQC，∴CE=CQ，
由題意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t，∴AQ=8-t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，
則AP=10-2t，∴10-2t=8-t，
解得：t=2，
答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）如圖（2），過P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP=90°，
在Rt△ABC和Rt△BPM中，
∴$sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{PM}{BP}$，∴$\frac{PM}{2t}=\frac{10}{8}$，
∴PM=$\frac{8}{5}t$，
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t，
∴y=S_△ABC-S_△BPE
=$\frac{1}{2}BC•AC-\frac{1}{2}BE•PM=\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×（6-t）×\frac{8}{5}t$
=$\frac{4}{5}{t^2}-\frac{24}{5}t+24=\frac{4}{5}{（t-3）^2}+\frac{84}{5}$，
∵$a=\frac{4}{5}＞0$，
∴拋物線開口向上，
∴當t=3時，y_最小=$\frac{84}{5}$，
答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為 $\frac{84}{5}$cm²；

（3）如圖（3），假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上，
過P作PN⊥AC，交AC于N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN∽△BAC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AN}{AC}$，∴$\frac{PN}{6}=\frac{10-2t}{10}=\frac{AN}{8}$，∴$PN=6-\frac{6}{5}t$，$AN=8-\frac{8}{5}t$，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=$8-t-（8-\frac{8}{5}t）=\frac{3}{5}t$，
∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP，
∴$\frac{PN}{FC}=\frac{NQ}{CQ}$，∴$\frac{{6-\frac{6}{5}t}}{9-t}=\frac{{\frac{3}{5}t}}{t}$，
∵0＜t＜4.5，
∴$\frac{{6-\frac{6}{5}t}}{9-t}=\frac{3}{5}$，
解得：t=1，
答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，作恰當?shù)妮o助線，構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．