【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,我們把以拋物線上的動點A為頂點的拋物線叫做這條拋物線的“子拋物線”.如圖,已知某條“子拋物線”的二次項系數(shù)為,且與y軸交于點C.設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m(m>0),過點A作y軸的垂線交y軸于點B.
(1)當(dāng)m=1時,求這條“子拋物線”的解析式;
(2)用含m的代數(shù)式表示∠ACB的余切值;
(3)如果∠OAC=135°,求m的值.
【答案】(1);(2);(3)m的值為2
【解析】
(1)先求出m=1時點A的坐標(biāo),進(jìn)而可得到這條“子拋物線”的解析式;
(2)先根據(jù)A點坐標(biāo)求出“子拋物線”的解析式和AB,OB的長度,然后令x = 0求出y值即可得到C點坐標(biāo),進(jìn)而可求出BC的長度,最后利用即可求解;
(3)過O點作OD⊥CA的延長線于點D,過點D作y軸的平行線分別交BA的延長線于點E,交x軸于點F, 首先證明△AED≌△DFO,則有AE=DF,DE=OF,設(shè)AE=n,那么DF=n,BE= m + n=OF=ED,通過OB=EF得到,然后再通過得到,將兩個關(guān)于m,n的方程聯(lián)立即可求出m的值.
解:(1)∵點A在上,點A的橫坐標(biāo)為m,
∴A(m,m2),
當(dāng)m =1時, ,
∴A(1,1),
∴這條“子拋物線”的解析式為.
(2)由A(m,m2),且AB⊥y軸,可得AB=m,OB= m2.
∴“子拋物線”的解析式為.
令x = 0,,
∴點C的坐標(biāo)(0,),,
∴.
在Rt△ABC中,
.
(3)如圖,過O點作OD⊥CA的延長線于點D,過點D作y軸的平行線分別交BA的延長線于點E,交x軸于點F.
∵∠OAC=135°,
∴∠OAD=45°.
又∵OD⊥CA,
∴∠AOD=∠OAD=45°,
∴AD=OD,
,
.
,
∴△AED≌△DFO,
∴AE=DF,DE=OF.
設(shè)AE=n,那么DF=n,BE= m + n=OF=ED.
又∵OB=EF,
∴.
又,
∴∠BCA=∠ADE,
∴.
解方程組,得,(舍去)
∴ m的值為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在菱形ABCD中,點P、Q分別在BC、CD上,∠PAQ=∠B.
(1)如圖1,若AP⊥BC,求證:AP=AQ;
(2)如圖2,若點P為BC上一點,AP=AQ仍成立嗎?請說明理由.
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【題目】已知,如圖,在平行四邊形ABCD中,M是BC邊的中點,E是邊BA延長線上的一點,連結(jié)EM,分別交線段AD、AC于點F、G.
(1)求證:;
(2)當(dāng)BC2=2BABE時,求證:∠EMB=∠ACD.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖:
①分別以點C和點D為圓心,大于的同樣的長為半徑作弧,兩弧交于M,N兩點;
②作直線MN,交CD于點E,連接BE.
若直線MN恰好經(jīng)過點A,則下列說法錯誤的是( )
A.ABC60°
B.
C.若AB4,則BE
D.tanCBE
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于任意兩點,,如果,則稱與互為“距點”.例如:點,點,由,可得點與互為“距點”.
(1)在點,,中,原點的“距點”是_____(填字母);
(2)已知點,點,過點作平行于軸的直線.
①當(dāng)時,直線上點的“距點”的坐標(biāo)為_____;
②若直線上存在點的“點”,求的取值范圍.
(3)已知點,,,的半徑為,若在線段上存在點,在上存在點,使得點與點互為“距點”,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于兩個不相等的實數(shù)a,b,我們規(guī)定符號max{a,b}表示a、b中的較大的數(shù),如:max{2,4}=4,按照這個規(guī)定,方程max{x,﹣x}=x2﹣x﹣1的解為( 。
A.1+或1﹣B.1或﹣1C.1﹣或1D.1+或﹣1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,以AD為直徑作⊙O交AB于點F,連接DB交⊙O于點H,E是BC上的一點,且BE=BF,連接DE.
(1)求證:△DAF≌△DCE.
(2)求證:DE是⊙O的切線.
(3)若BF=2,DH=,求四邊形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在讀書月活動中,學(xué)校準(zhǔn)備購買一批課外讀物,為使課外讀物滿足同學(xué)們的需求,學(xué)校就“我最喜愛的課外讀物”從文學(xué)、藝術(shù)、科普和其他四個類別進(jìn)行了抽樣調(diào)查(每位同學(xué)只選一類),如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了_____名同學(xué);
(2)條形統(tǒng)計圖中,m=_____,n=_______;
(3)扇形統(tǒng)計圖中,藝術(shù)類讀物所在扇形的圓心角是______度;
(4)學(xué)校計劃購買課外讀物5000冊,請根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計學(xué)校購買其他類讀物多少冊比較合理?
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【題目】如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線 y=ax2+bx﹣5 與 x 軸交于 A(﹣1,0),B(5, 0)兩點,與 y 軸交于點 C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點 D 是 y 軸上的一點,且以 B,C,D 為頂點的三角形與△ABC 相似,求點 D 的坐標(biāo);
(3)如圖 2,CE∥x 軸與拋物線相交于點 E,點 H 是直線 CE 下方拋物線上的動點,過點 H且與 y 軸平行的直線與 BC,CE 分別相交于點 F,G,試探究當(dāng)點 H 運(yùn)動到何處時,四邊形CHEF 的面積最大,求點 H 的坐標(biāo)及最大面積;
(4)若點 K 為拋物線的頂點,點 M(4,m)是該拋物線上的一點,在 x 軸,y 軸上分別找點 P,Q,使四邊形 PQKM 的周長最小,求出點 P,Q 的坐標(biāo).
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