Question

【題目】在菱形ABCD中，點(diǎn)P、Q分別在BC、CD上，∠PAQ＝∠B．

（1）如圖1，若AP⊥BC，求證：AP＝AQ；

（2）如圖2，若點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，AP＝AQ仍成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）成立；（2）成立，見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可利用菱形的性質(zhì)證明△ABP≌△ADQ（AAS）即可解答

（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，在證明△AEP≌△AFQ（ASA）即可解答

（1）在菱形ABCD中，

∠B+∠C＝180°，AB＝AD，∠B＝∠D，

∵∠PAQ＝∠B，

∴∠PAQ+∠C＝180°，

∴∠APC+∠AQC＝180°，

∵AP⊥BC，

∴∠APB＝∠AQD＝90°，

在△ABP與△ADQ中，

，

∴△ABP≌△ADQ（AAS），

∴AP＝AQ；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，

由（1）可知：AE＝AF，∠PAQ＝∠B＝∠EAF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP與△AFQ中，

，

∴△AEP≌△AFQ（ASA），

∴AP＝AQ．