Question

如圖，是一個(gè)殘破的圓片的示意圖；
（1）用尺規(guī)圖找出該殘片所在圓的圓心位置；
（2）若此圓上的三點(diǎn)A、B、C滿足AB=AC，BC=3

3

，∠ABC=30°，求

BAC

的長(zhǎng)；
（3）題（2）中的三點(diǎn)能否是該圓的某個(gè)內(nèi)接正多邊形的相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)正多邊形的面積；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用,正多邊形和圓,弧長(zhǎng)的計(jì)算

專題：

分析：（1）分別作出線段AC與BC的垂直平分線，兩直線的交點(diǎn)即為圓心；
（2）分別連結(jié)OA、OB，設(shè)OA交BC于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理求出DB的長(zhǎng)，再由銳角三角函數(shù)的定義得出AD的長(zhǎng)，設(shè)半徑OB=r，則OD=2-r，在Rt△OBD中根據(jù)勾股定理求出r的值，再由圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)∠ABC=30°，AB=AC得出∠BAC的度數(shù)，故可得出此三點(diǎn)是圓內(nèi)接正六邊形的頂點(diǎn)，故可得出△AOB是等邊三角形，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖所示，點(diǎn)O就是所求的圓心；

（2）分別連結(jié)OA、OB，設(shè)OA交BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC，
∴0A⊥BC，DB=DC=

1

2

BC=2

3

，
∵∠ABC=30°，
∴AD=2

3

tan30°=2，
設(shè)半徑OB=r，則OD=2-r，根據(jù)勾股定理，得
（2

3

）²+（2-r）²=r²，解得r=4，即半徑為4．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠BAC=120°，
∴

BAC

所對(duì)的圓周角是60°，
∴∠BOC=120°，
∴

BAC

的長(zhǎng)=

120π×4

180

=

8

3

π；

（3）∵∠ABC=30°，AB=AC，
∴∠BAC=120°，
∴此三點(diǎn)是圓內(nèi)接正六邊形的頂點(diǎn)，
∴△AOB是等邊三角形，
∴S_正六邊形=6S_△AOB=6×

1

2

×4×4sin60°=48×

3

2

=24

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．