【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸交于A(x1 , 0)、B(x2 , 0)(x1<x2)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,x1 , x2是方程x2+4x﹣5=0的兩根.

(1)若拋物線的頂點(diǎn)為D,求SABC:SACD的值;
(2)若∠ADC=90°,求二次函數(shù)的解析式.

【答案】
(1)

解:解方程x2+4x﹣5=0,得x=﹣5或x=1,

由于x1<x2,則有x1=﹣5,x2=1,∴A(﹣5,0),B(1,0).

拋物線的解析式為:y=a(x+5)(x﹣1)(a>0),

∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2,﹣9a),

令x=0,得y=﹣5a,

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,﹣5a).

依題意畫(huà)出圖形,如右圖所示,則OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a,

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E,則DE=2,OE=9a,CE=OE﹣OC=4a.

SACD=S梯形ADEO﹣SCDE﹣SAOC

= (DE+OA)OE﹣ DECE﹣ OAOC

= (2+5)9a﹣ ×2×4a﹣ ×5×5a

=15a,

而SABC= ABOC= ×6×5a=15a,

∴SABC:SACD=15a:15a=1:1


(2)

解:如解答圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E

在Rt△DCE中,由勾股定理得:CD2=DE2+CE2=4+16a2,

在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC2=OA2+OC2=25+25a2,

設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=﹣2與x軸交于點(diǎn)F,則AF=3,

在Rt△ADF中,由勾股定理得:AD2=AF2+DF2=9+81a2

∵∠ADC=90°,∴△ACD為直角三角形,

由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,

即(9+81a2)+(4+16a2)=25+25a2,化簡(jiǎn)得:a2=

∵a>0,

∴a= ,

∴拋物線的解析式為:y= (x+5)(x﹣1)= x2+ x﹣


【解析】(1)首先解一元二次方程,求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),得到含有字母a的拋物線的交點(diǎn)式;然后分別用含字母a的代數(shù)式表示出△ABC與△ACD的面積,最后得出結(jié)論;(2)在Rt△ACD中,利用勾股定理,列出一元二次方程,求出未知系數(shù)a,得出拋物線的解析式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,4):
①分別求出直線l與雙曲線的解析式;
②若將直線l向下平移m(m>0)個(gè)單位,當(dāng)m為何值時(shí),直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)?
(2)假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出b的值.

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(2)(1)中所建坐標(biāo)系中,畫(huà)出四邊形ABCD關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形A1B1C1D1,并寫(xiě)出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo).

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(1)如圖①,若ABON,則

①∠ABO的度數(shù)是________.

②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí),x=________;當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí),x=________.

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其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

A.1個(gè)
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C.3個(gè)
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