Question

8．如圖，拋物線與直線y=2x-8交于A，B兩點，有一直尺平行于y軸移動，直尺兩長邊所在直線AB和拋物線截得兩線段NM、PQ，點P、M在直線AB上且PM=$\sqrt{5}$，設M點的橫坐標為m（0＜m＜4）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）當m為何值時，以M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由；
（3）在拋物線上的對稱軸上是否存在點D使得點D到直線AB和到x軸的距離相等？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出A點和B點坐標，然后把A點和B點坐標代入y=x²+bx+c得關于b、c的方程組，再解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）作PH⊥MN于H，如圖1，證明△PHM∽△BOA，利用相似比得到PH：HM=1：2，則可設PH=x，HM=2x，利用勾股定理計算出PM=$\sqrt{5}$x，所以$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，解得x=1，再設M（m，2m-8），則P（m+1，2m-6），接著表示出N（m，m²-2m-8），Q[m+1，（m+1）²-2（m+1）-8]，根據(jù)平行線四邊形的判定方法當MN=PQ時，以M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，即|m²-2m-8-（2m-8）|=|（m+1）²-2（m+1）-8-（2m-6）|，然后解絕對值方程求出m即可得到滿足條件的m的值；
（3）先確定拋物線的對稱軸為直線x=1，作AC垂直對稱軸于C，對稱軸交x軸于E，DF⊥AB于F，AB與對稱軸交于點K，如圖2，則K（1，-6），C（1，-8），利用勾股定理可計算出AK=$\sqrt{5}$，設D（1，t），則DE=DF=|t|，通過證明△DKF∽△AKC，利用相似比得到|t|：1=（t+6）：$\sqrt{5}$，然后解方程求出t即可得到D點坐標．

解答 解：（1）當x=0時，y=2x-8=-8，則A（0，-8），
當y=0時，2x-8=0，解得x=4，則B（4，0），
把A（0，-8），B（4，0）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-8}\\{16+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=x²-2x-8；
（2）作PH⊥MN于H，如圖1，
∵HM∥OA，
∴∠OAB=∠HMP，
∴△PHM∽△BOA，
∴PH：OB=HM：OA，即PH：4=HM：8，
∴PH：HM=1：2，
設PH=x，則HM=2x，
在Rt△PHM中，PM=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，解得x=1，即PH=1，HM=2，
設M（m，2m-8），則P（m+1，2m-6），
∴N（m，m²-2m-8），Q[m+1，（m+1）²-2（m+1）-8]，
∵MN∥PQ，
∴當MN=PQ時，以M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
即|m²-2m-8-（2m-8）|=|（m+1）²-2（m+1）-8-（2m-6）|，
解得m=$\frac{3}{2}$或m=$\frac{3±\sqrt{15}}{2}$，
而0＜m＜4，
∴當m為$\frac{3}{2}$或$\frac{3+\sqrt{15}}{2}$時，以M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）存在．
拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{-2}{2×1}$=1，
作AC垂直對稱軸于C，對稱軸交x軸于E，DF⊥AB于F，AB與對稱軸交于點K，如圖2，
當x=1時，y=2x-8=-6，則K（1，-6），而C（1，-8），
在Rt△ACK中，AK=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
設D（1，t），則DE=DF=|t|，
∵∠DKF=∠AKC，
∴△DKF∽△AKC，
∴DF：AC=DK：AK，即|t|：1=（t+6）：$\sqrt{5}$，
解得t=$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$或t=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，
∴D點坐標為（1，$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$）或（1，$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質和平行四邊形的判定方法；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質；能運用相似比計算線段的長或表示線段之間的關系．